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《基于张量网络的学习入门》学习笔记3

發(fā)布時間：2025/4/5 编程问答 47 豆豆

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《基于張量網(wǎng)絡(luò)的機器學(xué)習(xí)入門》學(xué)習(xí)筆記3

量子寄存器、量子狀態(tài)疊加與并行處理的關(guān)系
不確定性原理

量子寄存器、量子狀態(tài)疊加與并行處理的關(guān)系

疊加態(tài)的數(shù)學(xué)定義：
$∣x?=α1∣x1?+α2∣x2?+?+αn∣xn?\mathinner{|x\rangle}=\alpha_1\mathinner{|x_1\rangle}+\alpha_2\mathinner{|x_2\rangle}+\cdots+\alpha_n\mathinner{|x_n\rangle}$
其中， $αi,i=1,2,?,n\alpha_i,i=1,2,\cdots,n$ 為振幅， ${∣x1?,∣x2?,?,∣xn?}\{\mathinner{|x_1\rangle},\mathinner{|x_2\rangle},\cdots,\mathinner{|x_n\rangle}\}$ 是基態(tài)， $∣α1∣2+∣α2∣2+?+∣αn∣2=1|\alpha_1|^2+|\alpha_2|^2+\cdots+|\alpha_n|^2=1$ ，且一般為正交歸一基，那么，對疊加態(tài)的一次運算，就相當(dāng)于對 $n$ 個基態(tài)同時進行一次運算。
由此可見，量子疊加態(tài)是實現(xiàn)真正意義物理意義上并行計算的物質(zhì)基礎(chǔ)。
定義：量子寄存器——量子比特的集合
其是位串，其長度決定了它可以存儲的信息量。因為疊加時，寄存器中的每個量子位是 $∣0?\mathinner{|0\rangle}$ 和 $∣1?\mathinner{|1\rangle}$ 的疊加，所以長度為 $n$ 個量子位的寄存器是所有 $2 n$ 個可能的用 $n$ 位表示的長度量子位串的疊加。那么，長度為 $n$ 的量子寄存器，對應(yīng)到線性代數(shù)，就是其狀態(tài)空間是 $n$ 為基向量的線性組合，每個長度為 $2 n$ ，那么，我們可以得出：
$∣ψn∣=∑i=02n?1ai∣i?|\psi_n|=\sum\limits_{i = 0}^{{2^{n - 1}}} {{a_i}}\mathinner{|i\rangle}$
例：
若 $U∣0?=12(∣0?+∣1?)U\mathinner{|0\rangle}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mathinner{|0\rangle}+\mathinner{|1\rangle})$ ，則一個長度為 $4$ 的量子位寄存器的擴展為：
$U?U?U?U?∣0000?=U∣0??U∣0??U∣0??U∣0?=12(∣0?+∣1?)?12(∣0?+∣1?)?12(∣0?+∣1?)?12(∣0?+∣1?)=14(∣0000?+∣0001?+∣0010?+∣0011?+∣0100?+∣0101?+∣0110?+∣0111?+∣1000?+∣1001?+1010?+∣1011?+∣1100?+∣1101?+∣1110?+∣1111?)=14(∣0?+∣1?+∣2?+∣3?+∣4?+∣5?+∣6?+∣7?+∣8?+∣9?+∣10?+∣11?+∣12?+∣13?+∣14?+∣15?)U\otimes U\otimes U\otimes U\otimes\mathinner{|0000\rangle}\\=U\mathinner{|0\rangle}\otimes U\mathinner{|0\rangle}\otimes U\mathinner{|0\rangle}\otimes U\mathinner{|0\rangle}\\=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mathinner{|0\rangle}+\mathinner{|1\rangle})\otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(\mathinner{|0\rangle}+\mathinner{|1\rangle})\otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(\mathinner{|0\rangle}+\mathinner{|1\rangle})\otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(\mathinner{|0\rangle}+\mathinner{|1\rangle})\\=\frac{1}{4}(\mathinner{|0000\rangle}+\mathinner{|0001\rangle}+\mathinner{|0010\rangle}+\mathinner{|0011\rangle}+\mathinner{|0100\rangle}+\mathinner{|0101\rangle}+\mathinner{|0110\rangle}+\mathinner{|0111\rangle}+\mathinner{|1000\rangle}+\mathinner{|1001\rangle}+\mathinner{1010\rangle}+\mathinner{|1011\rangle}+\mathinner{|1100\rangle}+\mathinner{|1101\rangle}+\mathinner{|1110\rangle}+\mathinner{|1111\rangle})\\=\frac{1}{4}(\mathinner{|0\rangle}+\mathinner{|1\rangle}+\mathinner{|2\rangle}+\mathinner{|3\rangle}+\mathinner{|4\rangle}+\mathinner{|5\rangle}+\mathinner{|6\rangle}+\mathinner{|7\rangle}+\mathinner{|8\rangle}+\mathinner{|9\rangle}+\mathinner{|10\rangle}+\mathinner{|11\rangle}+\mathinner{|12\rangle}+\mathinner{|13\rangle}+\mathinner{|14\rangle}+\mathinner{|15\rangle})$
由此可以得出，經(jīng)過 $4$ 次基本操作得到 $16$ 個量子態(tài)， $n$ 次基本操作得到包含 $2^n$ 個數(shù)之的急促你的態(tài)，而在經(jīng)典計算機中， $n$ 次操作僅得到包含 $1$ 個數(shù)值的寄存器的態(tài)。

不確定性原理

首先，給出兩個概念的定義
定義：對易和反對易——算符 $A$ 和 $B$ 如果滿足條件 $A B = B A$ ，則稱為對易的；如果 $A B = ? B A$ ，則稱為反對易的。
定義：對易子和反對易子——量子算符的對易子定義為： $[A, B] = A B ? B A$ ，對易關(guān)系即 $[A, B] = 0$ ；反對易子的定義為 ${A,B\}=AB+BA$ ，反對易關(guān)系即 ${A,B\}=0$
現(xiàn)在，就能給出不確定性原理的定義了
定義：不確定性原理——不能通過測量同時確定兩個不對易的物理量
比如位置和動量，因為對其中一個的測量行為會干擾被測對象的狀態(tài)，導(dǎo)致另一個物理量無法確定。如果知道一個粒子的位置 $x$ ，那么就完全無法確定它的動量 $p$ ，這種關(guān)系可以用式子表示為： $ΔxΔp≥h2\Delta x\Delta p\geq \frac{h}{2}$ ，其中， $h≈6.62607015×10?34J?sh\approx6.62607015\times10^{-34}J\cdot s$ 是普朗克常數(shù)。

下面，我們通過一個詳細的例子來理解一下不確定性原理。

假設(shè)你現(xiàn)在有一顆神奇的糖，它的味道有時酸，有時甜；它的顏色有時紅，有時藍。你只有品嘗它的時候才會知道它的味道，看到它的時候才會知道它的顏色。
先以味道為例：當(dāng)我們?nèi)テ穱L糖的味道時，它的量子態(tài)就隨機落到了“甜”或“不甜”兩個本征態(tài)的其中一個上，在平面上表示，“甜”和“不甜”就分別對應(yīng)著 $∣a1?,∣a2?\mathinner{|a_1\rangle},\mathinner{|a_2\rangle}$ 兩個向量，如下圖所示：

如果我們品嘗了糖的味道、發(fā)現(xiàn)是甜的，那么它的狀態(tài)就落到了味道的本征態(tài) $∣a1?\mathinner{|a_1\rangle}$ 上。而根據(jù)前面的描述，現(xiàn)在糖的顏色就變得不確定了，處于“紅”和“藍”兩個本征態(tài)的疊加。為了從數(shù)學(xué)上描述這一點，我們給出另一對基底，記為 $∣b1?,∣b2?\mathinner{|b_1\rangle},\mathinner{|b_2\rangle}$ ，它們分別對應(yīng)顏色的“紅”和“藍”兩個本征態(tài)。假定 $∣a1?,∣a2?，∣b1?,∣b2?\mathinner{|a_1\rangle},\mathinner{|a_2\rangle}，\mathinner{|b_1\rangle},\mathinner{|b_2\rangle}$ 的“幾何”關(guān)系圖如下

根據(jù)線性基底變換，我們可以得到
${∣a1?=12(∣b1??∣b2?)∣a2?=12(∣b1?+∣b2?)\left\{ \begin{array}{l} \mathinner{|a_1\rangle}= \frac{1}{{\sqrt 2 }}(\mathinner{|b_1\rangle}-\mathinner{|b_2\rangle})\\ \mathinner{|a_2\rangle}= \frac{1}{{\sqrt 2 }}(\mathinner{|b_1\rangle}+\mathinner{|b_2\rangle}) \end{array} \right.$
即，當(dāng)糖的味道確定時，顏色就處在了疊加態(tài)中，所以，接下來再去測量它的顏色，就會隨機得到“紅”或“藍”的結(jié)果。而這兩個結(jié)果的概率，就是疊加系數(shù)的模平方，于是可以算出兩個結(jié)果分別對應(yīng)的概率： $P(∣b1?)=(12)2=12,P(∣b2?)=(12)2=12P(\mathinner{|b_1\rangle})=(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{1}{2},P(\mathinner{|b_2\rangle})=(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{1}{2}$ ，也就是說，我們各以 $12\frac{1}{2}$ 的概率得到“紅”或“藍”的結(jié)果。

由此，我們可以得到正確的理解不確定性關(guān)系的方式是：一旦量子的位置確定，它的動量就處于疊加狀態(tài)，沒有確定的值，直到我們?nèi)y量它的動量。

本周就到這里了，謝謝大家。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《基于张量网络的学习入门》学习笔记3的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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