《基于張量網絡的機器學習入門》學習筆記5

• 量子概率體系
• • 事件
  • 互斥事件
  • 概率與測量
  • 不相容屬性對
  • 相容屬性對
  • 量子概率與經典概率的區別
• 量子測量

量子概率體系

我們將經典的實數概率擴展到復數概率，從而論述了一整套新的概率體系，我們將其稱為量子概率?，F在，我們從較粗糙的公理化角度顯現地論述整個量子概率公理體系。

事件

在經典概率論中，我們用集合表示事件，用交、并、補等運算來組合出更多的事件。同時定義了兩個特殊的事件，一個是不可能事件對應集合空集，另一個是必然事件對應全集。
在量子概率中，我們用復線性空間(希爾伯特空間)$H$作為基本事件的集合。任意一個事件都是該線性空間中的一個子空間(直線、平面或者超平面)。在量子概率中，不可能事件對應$0$向量，即$0$維的線性空間。必然事件對應整個線性空間$H$。同時，量子概率中也有基本的三種運算。
定義：否運算——設事件$A$對應的子空間為$L_A$，那么$\bar{A}$事件則對應著垂直于$L_A$的子空間記做$L_A^{\perp }$
例如，事件$A$對應的子空間$L_A$為三維空間中的一條直線$l$，那么非$A$這個事件對應的子空間就是垂直于$l$的整個平面。

定義：與運算——設事件$A$對應的子空間為$L_A$，事件$B$對應的子空間為$L_B$，那么事件$A$且$B$對應的子空間就是這兩個線性子空間的交集，即：$L_{A\cap B}=L_A\wedge L_B$
例如$L_A$和$L_B$都是三維空間中的兩張平面，那么$L_{A\cap B}$就是這兩張平面的交線。如果$L_A$和$L_B$都是三維空間中的直線，則它們的交$L_{A\cap B}$必然是一個點，這個點就是$0$維線性空間。

定義：或運算——設事件$A$對應的子空間為$L_A$，事件$B$對應的子空間為$L_B$，那么事件$A$或$B$對應的子空間就是由著兩個空間所張成的更大的空間，即：$L_{A\cup B}=Span(L_A,L_B)$
注意：量子概率中的或運算與經典概率中事件或運算的本質是不同的，它不是兩個子空間的并集，而是線性擴展$Span$。例如設$L_A$和$L_B$分別是兩條相交于一點的直線，那么$L_{A\cup B}$就是這兩條直線所張成的平面。

量子概率的運算性質雖然大多與經典事件的運算性質相同，但是有一個本質的區別，就是量子概率中的事件的運算不一定滿足分配律，即：
$L_A\wedge (L_B\vee L_C)=(L_A\wedge L_B)\vee (L_A\wedge LC)$
例如，在如圖所示的空間中，有三條同在一個平面內的直線$L_A,L_B,L_C$，分別對應事件$A,B,C$，則$L_B\vee L_C$就是整個平面，而$L_A(L_B\vee L_C)$就是$L_A$這根直線。但反過來，由于$L_A\wedge L_B$和$L_A\wedge L_C$都是點，所以$(L_A\wedge L_B)\vee (L_A\wedge L_C)$還是點。所以量子事件不一定滿足分配律。

互斥事件

在傳統概率論中，一枚硬幣要么朝上，要么朝下，不可能同時發生，每拋一次必然有一個發生，那么這兩個事件構成了互斥事件。
定義：互斥事件——給定一組事件$A_1,A_2,?,A_n$，它們分別對應子空間$L_1,L_2,?,L_n$，則這些子空間滿足：
$L_i\wedge L_j=O$，$and$ $L_i\perp L_j,for?i,j$
并且：
$Span(L_1,L_2,?,L_n)=H$
那么，我們稱這組事件互斥。
在經典概率論中，互斥事件往往表現為一條線上的不同點對應的不同取值。但是，在量子概率中，每一個屬性值都對應著一條直線，這樣，$n$組屬性值就對應著$n$條直線，并且這些屬性值都是兩兩互斥的，即這些直線兩兩垂直，所有這些可能的直線張成了一個$n$維希爾伯特空間。

概率與測量

在量子概率中，我們可以采用三個步驟來計算任意一個事件的概率。首先，確定一個狀態來表示系統所處的環境和條件，我們用$|z?$來表示該狀態，它是希爾伯特空間$H$中的一個向量，并且這個向量的長度必須是$1$，即：$?z|z?=1$。這里，$?z|$表示向量$|z?$的共軛，而$?z|z?$則表示向量$?z|$和$|z?$的內積。

其次，我們需要定義投影算子的概念。
定義：投影算子——每個事件$A$都對應了一個投影算子$P_A$，我們可以把狀態向量$|z?$通過$P_A$的作用投影到事件$A$對應的子空間$L_A$上，因此，投影算子表示為：$P_A:H\to L_A$
在幾何上，投影算子就是求向量$|z?$到子空間$L_A$上的投影向量，因此，這個投影就構成了一個向量：$P_A|z?$，這個概念可以用下圖清晰地表達。

在圖中，原向量為$|z?$，投影空間$L_A$為一個平面，則$|z?$在其上的投影為紅色向量。
最后，我們計算該投影向量的模平方即為事件$A$的發生概率：
$Pr(A)={|P_A|z?|}^2=?z|P_A|z?$(注：$Pr(A)$表達$A$事件發生的概率)
在量子概率中，測量是一個十分重要的過程，它不僅決定了一個事件發生的概率，而且也改變了系統的狀態。也就是說，如果我們測量過狀態是$z$的量子系統，并且得到了事件$A$發生的結果，那么該量子系統的狀態將變成：$z^{{}^{\prime }}=\frac{P_{A}z}{|P_{A}z|}$
也就是說，我們將用$A$事件的概率$|P_{A}z|$去重新歸一化向量$|P_{A}z|$，這樣測量之后的狀態$|z^{{}^{\prime }}|$又是一個長度為$1$的單位向量了。加入我們對狀態$z^{{}^{\prime }}$再進行一次完全相同的測量，就會得到：$Pr(A)=|P_A{z}^{{}^{\prime }}{|}^2=|P_A\frac{P_{A}z}{|P_{A}z|}{|}^2=\frac{|P_A{P}_{A}z{|}^2}{|P_{A}z{|}^2}=\frac{|P_{A}z{|}^2}{|P_{A}z{|}^2}=1$
所以一旦測量$P_A$，得到$A$發生的概率之后，系統將會一直呈現出$A$事件的狀態保持不變。
在量子概率中，一次測量就是將某一個投影算子作用到一個狀態向量上，測量的結果是讓觀察者得到一個確定的事件，同時也會讓被測向量完成一次投影，形成一個新向量。

不相容屬性對

量子概率和經典概率最大的不同就是存在著不相容的屬性對，也就是不能同時進行兩個屬性的測量。
定義：不相容屬性對——假設屬性$M$有$m$個不同屬性值$\{M_1,M_2,?,M_m\}$，這些屬性值張成了$m$維線性空間$H$，并且每兩個屬性對所對應的子空間彼此垂直。另有一個屬性$N$，它也有$m$個屬性值$\{N_1,N_2,?,N_m\}$，這些屬性值的子空間也張成一個$m$維的線性空間$H^{{}^{\prime }}$，如果$H=H^{{}^{\prime }}$，則稱$M$和$N$著兩個屬性不相容
例如：假設$m=2$，這樣$M$屬性的兩個屬性值就張成了一個平面$H$。若$M$與$N$是不相容屬性對，那么$N$屬性的兩個屬性值張成的二維空間$H^{{}^{\prime }}$也是$H$，這就意味著，$N$對應的是$H$中的另外一個坐標系；如下圖所示，黑色的坐標系就表示$M$屬性，藍色的坐標系表示$N$屬性。

下面考慮兩組不同的測量。第一組是先測量事件$M_1$是否發生，在測量事件$N_1$是否發生；第二組先測量$N_1$再測量$M_1$。按照前面定義的測量規則，第一組測量相當于先把向量$|z?$投影到$M_1$直線上，然后將$M_1$上的單位向量投影到$x^{{}^{\prime }}$上。這兩種結果最終得到的系統狀態是完全不同的。第一組測量最終得到的是$|N_1?$上的單位向量，而第二組測量將得到$|M_1?$上的單位向量。不同的測量順序所導致不同的結果也會體現在投影算符上，即存在不等式：$P_{Ni}{P}_{Mj}=P_{Mj}{P}_{Ni}$
不同的測量順序會導致不同的測量結果，這正是量子概率不兼容屬性的一種特別的性質之一。

相容屬性對

如果兩個屬性$M$和$N$可以被同時測量，則它們就構成了相容的屬性對。在數學上，相容的屬性對可以用復合系統來表示。
定義：相容屬性對——假設屬性$M$有$m$個不同屬性值$\{M_1,M_2,?,M_m\}$，另有一個屬性$N$，它有$n$個屬性值$\{N_1,N_2,?,N_n\}$，那么如果這兩組屬性值可以張成$m\times n$維空間$H$，并且每兩個屬性對的復合，即：$M_i?N_j?i,j$都構成$m\times n$維空間$H$中的一組基，那么這兩個屬性值就是相互兼容的。
所以，這$m\times n$位的希爾伯特空間就可以寫成：
$H=Span(?,M_i?N_j,?),?i<m,j<n$

下面，我們對相容屬性對進行測量。
假設有兩個相容屬性對，每個屬性對都具有$2$個可能的屬性值(我們都用$0$和$1$來表示)。因此，全空間$H$就可以寫成這兩個屬性對中任意兩個屬性值的組合張成的空間。
$H=Span(|00?,|01?,|10?,|11?)$

在這些基中，寫在左側的表示第一個屬性值。下面對第一個屬性值等于$0$進行測量：當第一個屬性值等于$0$，第二個屬性還有$0$和$1$兩種可能，因此二者結合就張成了一個二維的線性空間，并且$|00?$和$|01?$構成了這個二維子空間的基向量。所以，對第一個屬性值測量就相當于把一個思維空間投影到二維的平面上面。所以，對第一個屬性值測量就相當于把一個思維空間中的向量投影到二維的平面上。

相容屬性對的測量是不區分順序的。如果先對第一個屬性值$0$進行測量，就會把$4$維投影到$|00?$和$|01?$構成的二維平面上，然后再對第二個屬性值是否為$0$經行測量，相當于把向量投影到$|00?$這個向量上面。反過來，如果先對第二個屬性是否為$0$進行測量，最終也會把向量投影到$|00?$這個向量上面。所以，這兩種不同順序的測量是完全相同的。

實際上，對相容屬性對的測量就是一個將為的過程，系統中的向量會被逐漸壓縮到一條直線上。但是，對不相容屬性的測量不會產生降維的現象。

量子概率與經典概率的區別

性質經典概率運算不兼容屬性下事件A和B的量子概率運算

聯合概率	$Pr(A\wedge B)$	$Pr(A\wedge B)=Pr(B\wedge A)$	無定義
條件概率	$Pr(A\mid B)$	$Pr(A\mid B)=\frac{Pr(A\wedge B)}{P(B)}$	$\frac{\mid P_A{P}_B\mid z?{\mid }^2}{\mid P_B\mid z?{\mid }^2}$
條件概率	$Pr(B\mid A)$	$Pr(B\mid A)=\frac{Pr(A\wedge B)}{P(A)}$	$\frac{\mid P_B{P}_A\mid z?{\mid }^2}{\mid P_A\mid z?{\mid }^2}$
全概率公式	無	$Pr(A)=\sum _{i}Pr(A\mid B_i)Pr(B_i)$	不成立
條件概率互易性	$Pr(A\mid B)=Pr(B\mid A)$	不滿足	滿足
雙向隨機性	$\sum _{i}Pr(A_i\mid B_j)=\sum _{j}Pr(A_i\mid B_j)$	不滿足	滿足

雖然經典概率系統的性質都可以在量子概率的兼容屬性測量中找到對應，但是反過來，量子概率中的不兼容屬性對具備的性質則具有特殊性，所以說量子概率是比經典概率蘊含了更多東西的概率運算系統。

量子測量

對于一個由狀態$|\psi ?$描述的量子系統，可以由一組測量算符$\{M_m\}$描述，這里的算符本質都是一些比較特殊的矩陣，當他們作用在被測量系統的態空間上，可能的測量結果之一$m$發生的可能性為：
$$p(m)=?|M_m^{?}{M}_m|?$$
測量后系統的狀態為：
$$\frac{M_m|\psi ?}{\sqrt{?|M_m^{?}{M}_m|?}}$$
測量算子需要滿足完備性方程$\sum _m{M}_m^{?}{M}_m=1$，即：
$$\sum _{m}p(m)=\sum _m?\psi |M_m^{?}{M}_m|\psi ?$$
這幾個式子非常的復雜，也難懂，希望我們能通過下面的例題理解到它的原理。

例$1$ 用$\{|0?,|1?\}$測量量子態$|\phi ?=\alpha |0?+\beta |1?(|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1)$
解：$M_0=|0??0|=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],M_1=|1??1|=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$，顯然$M_0^2=M_0,M_1^2=M_1$，所以根據歸一化原理可得：$I=M_0^{?}{M}_0+M_1^{?}{M}_1$。且$|\phi ?=\alpha |0?+\beta |1?$，故有
$p(0)=?\psi |M_0^{?}{M}_0|\psi ?=?\psi |M_0|\psi ?=|\alpha {|}^2,p(1)=?\psi |M_1^{?}{M}_1|\psi ?=?\psi |M_1|\psi ?=|\beta {|}^2$。即以$|\alpha {|}^2$的概率得到$|0?$，以$|\beta {|}^2$的概率得到$|1?$。

例$2$ 用$\{|+?,|??\}$測量上述態時，可先變形為
$|\phi ?=\frac{\alpha }{\sqrt{2}}(|+?+|??)+\frac{\beta }{\sqrt{2}}(|+??|??)=\frac{\alpha +\beta }{\sqrt{2}}|+?+\frac{\alpha ?\beta }{\sqrt{2}}|??$
將以$|\frac{(\alpha +\beta )}{\sqrt{2}}{|}^2$的概率得到$|+?$，以$|\frac{(\alpha ?\beta )}{\sqrt{2}}{|}^2$的概率得到$|??$

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這周就學到這里了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记5的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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