《基于張量網(wǎng)絡(luò)的機(jī)器學(xué)習(xí)入門(mén)》學(xué)習(xí)筆記5

• 量子概率體系
• • 事件
  • 互斥事件
  • 概率與測(cè)量
  • 不相容屬性對(duì)
  • 相容屬性對(duì)
  • 量子概率與經(jīng)典概率的區(qū)別
• 量子測(cè)量

量子概率體系

我們將經(jīng)典的實(shí)數(shù)概率擴(kuò)展到復(fù)數(shù)概率，從而論述了一整套新的概率體系，我們將其稱為量子概率?，F(xiàn)在，我們從較粗糙的公理化角度顯現(xiàn)地論述整個(gè)量子概率公理體系。

事件

在經(jīng)典概率論中，我們用集合表示事件，用交、并、補(bǔ)等運(yùn)算來(lái)組合出更多的事件。同時(shí)定義了兩個(gè)特殊的事件，一個(gè)是不可能事件對(duì)應(yīng)集合空集，另一個(gè)是必然事件對(duì)應(yīng)全集。
在量子概率中，我們用復(fù)線性空間(希爾伯特空間)$H$作為基本事件的集合。任意一個(gè)事件都是該線性空間中的一個(gè)子空間(直線、平面或者超平面)。在量子概率中，不可能事件對(duì)應(yīng)$0$向量，即$0$維的線性空間。必然事件對(duì)應(yīng)整個(gè)線性空間$H$。同時(shí)，量子概率中也有基本的三種運(yùn)算。
定義：否運(yùn)算——設(shè)事件$A$對(duì)應(yīng)的子空間為$L_A$，那么$\bar{A}$事件則對(duì)應(yīng)著垂直于$L_A$的子空間記做$L_A^{\perp }$
例如，事件$A$對(duì)應(yīng)的子空間$L_A$為三維空間中的一條直線$l$，那么非$A$這個(gè)事件對(duì)應(yīng)的子空間就是垂直于$l$的整個(gè)平面。

定義：與運(yùn)算——設(shè)事件$A$對(duì)應(yīng)的子空間為$L_A$，事件$B$對(duì)應(yīng)的子空間為$L_B$，那么事件$A$且$B$對(duì)應(yīng)的子空間就是這兩個(gè)線性子空間的交集，即：$L_{A\cap B}=L_A\wedge L_B$
例如$L_A$和$L_B$都是三維空間中的兩張平面，那么$L_{A\cap B}$就是這兩張平面的交線。如果$L_A$和$L_B$都是三維空間中的直線，則它們的交$L_{A\cap B}$必然是一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是$0$維線性空間。

定義：或運(yùn)算——設(shè)事件$A$對(duì)應(yīng)的子空間為$L_A$，事件$B$對(duì)應(yīng)的子空間為$L_B$，那么事件$A$或$B$對(duì)應(yīng)的子空間就是由著兩個(gè)空間所張成的更大的空間，即：$L_{A\cup B}=Span(L_A,L_B)$
注意：量子概率中的或運(yùn)算與經(jīng)典概率中事件或運(yùn)算的本質(zhì)是不同的，它不是兩個(gè)子空間的并集，而是線性擴(kuò)展$Span$。例如設(shè)$L_A$和$L_B$分別是兩條相交于一點(diǎn)的直線，那么$L_{A\cup B}$就是這兩條直線所張成的平面。

量子概率的運(yùn)算性質(zhì)雖然大多與經(jīng)典事件的運(yùn)算性質(zhì)相同，但是有一個(gè)本質(zhì)的區(qū)別，就是量子概率中的事件的運(yùn)算不一定滿足分配律，即：
$L_A\wedge (L_B\vee L_C)=(L_A\wedge L_B)\vee (L_A\wedge LC)$
例如，在如圖所示的空間中，有三條同在一個(gè)平面內(nèi)的直線$L_A,L_B,L_C$，分別對(duì)應(yīng)事件$A,B,C$，則$L_B\vee L_C$就是整個(gè)平面，而$L_A(L_B\vee L_C)$就是$L_A$這根直線。但反過(guò)來(lái)，由于$L_A\wedge L_B$和$L_A\wedge L_C$都是點(diǎn)，所以$(L_A\wedge L_B)\vee (L_A\wedge L_C)$還是點(diǎn)。所以量子事件不一定滿足分配律。

互斥事件

在傳統(tǒng)概率論中，一枚硬幣要么朝上，要么朝下，不可能同時(shí)發(fā)生，每拋一次必然有一個(gè)發(fā)生，那么這兩個(gè)事件構(gòu)成了互斥事件。
定義：互斥事件——給定一組事件$A_1,A_2,?,A_n$，它們分別對(duì)應(yīng)子空間$L_1,L_2,?,L_n$，則這些子空間滿足：
$L_i\wedge L_j=O$，$and$ $L_i\perp L_j,for?i,j$
并且：
$Span(L_1,L_2,?,L_n)=H$
那么，我們稱這組事件互斥。
在經(jīng)典概率論中，互斥事件往往表現(xiàn)為一條線上的不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)的不同取值。但是，在量子概率中，每一個(gè)屬性值都對(duì)應(yīng)著一條直線，這樣，$n$組屬性值就對(duì)應(yīng)著$n$條直線，并且這些屬性值都是兩兩互斥的，即這些直線兩兩垂直，所有這些可能的直線張成了一個(gè)$n$維希爾伯特空間。

概率與測(cè)量

在量子概率中，我們可以采用三個(gè)步驟來(lái)計(jì)算任意一個(gè)事件的概率。首先，確定一個(gè)狀態(tài)來(lái)表示系統(tǒng)所處的環(huán)境和條件，我們用$|z?$來(lái)表示該狀態(tài)，它是希爾伯特空間$H$中的一個(gè)向量，并且這個(gè)向量的長(zhǎng)度必須是$1$，即：$?z|z?=1$。這里，$?z|$表示向量$|z?$的共軛，而$?z|z?$則表示向量$?z|$和$|z?$的內(nèi)積。

其次，我們需要定義投影算子的概念。
定義：投影算子——每個(gè)事件$A$都對(duì)應(yīng)了一個(gè)投影算子$P_A$，我們可以把狀態(tài)向量$|z?$通過(guò)$P_A$的作用投影到事件$A$對(duì)應(yīng)的子空間$L_A$上，因此，投影算子表示為：$P_A:H\to L_A$
在幾何上，投影算子就是求向量$|z?$到子空間$L_A$上的投影向量，因此，這個(gè)投影就構(gòu)成了一個(gè)向量：$P_A|z?$，這個(gè)概念可以用下圖清晰地表達(dá)。

在圖中，原向量為$|z?$，投影空間$L_A$為一個(gè)平面，則$|z?$在其上的投影為紅色向量。
最后，我們計(jì)算該投影向量的模平方即為事件$A$的發(fā)生概率：
$Pr(A)={|P_A|z?|}^2=?z|P_A|z?$(注：$Pr(A)$表達(dá)$A$事件發(fā)生的概率)
在量子概率中，測(cè)量是一個(gè)十分重要的過(guò)程，它不僅決定了一個(gè)事件發(fā)生的概率，而且也改變了系統(tǒng)的狀態(tài)。也就是說(shuō)，如果我們測(cè)量過(guò)狀態(tài)是$z$的量子系統(tǒng)，并且得到了事件$A$發(fā)生的結(jié)果，那么該量子系統(tǒng)的狀態(tài)將變成：$z^{{}^{\prime }}=\frac{P_{A}z}{|P_{A}z|}$
也就是說(shuō)，我們將用$A$事件的概率$|P_{A}z|$去重新歸一化向量$|P_{A}z|$，這樣測(cè)量之后的狀態(tài)$|z^{{}^{\prime }}|$又是一個(gè)長(zhǎng)度為$1$的單位向量了。加入我們對(duì)狀態(tài)$z^{{}^{\prime }}$再進(jìn)行一次完全相同的測(cè)量，就會(huì)得到：$Pr(A)=|P_A{z}^{{}^{\prime }}{|}^2=|P_A\frac{P_{A}z}{|P_{A}z|}{|}^2=\frac{|P_A{P}_{A}z{|}^2}{|P_{A}z{|}^2}=\frac{|P_{A}z{|}^2}{|P_{A}z{|}^2}=1$
所以一旦測(cè)量$P_A$，得到$A$發(fā)生的概率之后，系統(tǒng)將會(huì)一直呈現(xiàn)出$A$事件的狀態(tài)保持不變。
在量子概率中，一次測(cè)量就是將某一個(gè)投影算子作用到一個(gè)狀態(tài)向量上，測(cè)量的結(jié)果是讓觀察者得到一個(gè)確定的事件，同時(shí)也會(huì)讓被測(cè)向量完成一次投影，形成一個(gè)新向量。

不相容屬性對(duì)

量子概率和經(jīng)典概率最大的不同就是存在著不相容的屬性對(duì)，也就是不能同時(shí)進(jìn)行兩個(gè)屬性的測(cè)量。
定義：不相容屬性對(duì)——假設(shè)屬性$M$有$m$個(gè)不同屬性值$\{M_1,M_2,?,M_m\}$，這些屬性值張成了$m$維線性空間$H$，并且每?jī)蓚€(gè)屬性對(duì)所對(duì)應(yīng)的子空間彼此垂直。另有一個(gè)屬性$N$，它也有$m$個(gè)屬性值$\{N_1,N_2,?,N_m\}$，這些屬性值的子空間也張成一個(gè)$m$維的線性空間$H^{{}^{\prime }}$，如果$H=H^{{}^{\prime }}$，則稱$M$和$N$著兩個(gè)屬性不相容
例如：假設(shè)$m=2$，這樣$M$屬性的兩個(gè)屬性值就張成了一個(gè)平面$H$。若$M$與$N$是不相容屬性對(duì)，那么$N$屬性的兩個(gè)屬性值張成的二維空間$H^{{}^{\prime }}$也是$H$，這就意味著，$N$對(duì)應(yīng)的是$H$中的另外一個(gè)坐標(biāo)系；如下圖所示，黑色的坐標(biāo)系就表示$M$屬性，藍(lán)色的坐標(biāo)系表示$N$屬性。

下面考慮兩組不同的測(cè)量。第一組是先測(cè)量事件$M_1$是否發(fā)生，在測(cè)量事件$N_1$是否發(fā)生；第二組先測(cè)量$N_1$再測(cè)量$M_1$。按照前面定義的測(cè)量規(guī)則，第一組測(cè)量相當(dāng)于先把向量$|z?$投影到$M_1$直線上，然后將$M_1$上的單位向量投影到$x^{{}^{\prime }}$上。這兩種結(jié)果最終得到的系統(tǒng)狀態(tài)是完全不同的。第一組測(cè)量最終得到的是$|N_1?$上的單位向量，而第二組測(cè)量將得到$|M_1?$上的單位向量。不同的測(cè)量順序所導(dǎo)致不同的結(jié)果也會(huì)體現(xiàn)在投影算符上，即存在不等式：$P_{Ni}{P}_{Mj}=P_{Mj}{P}_{Ni}$
不同的測(cè)量順序會(huì)導(dǎo)致不同的測(cè)量結(jié)果，這正是量子概率不兼容屬性的一種特別的性質(zhì)之一。

相容屬性對(duì)

如果兩個(gè)屬性$M$和$N$可以被同時(shí)測(cè)量，則它們就構(gòu)成了相容的屬性對(duì)。在數(shù)學(xué)上，相容的屬性對(duì)可以用復(fù)合系統(tǒng)來(lái)表示。
定義：相容屬性對(duì)——假設(shè)屬性$M$有$m$個(gè)不同屬性值$\{M_1,M_2,?,M_m\}$，另有一個(gè)屬性$N$，它有$n$個(gè)屬性值$\{N_1,N_2,?,N_n\}$，那么如果這兩組屬性值可以張成$m\times n$維空間$H$，并且每?jī)蓚€(gè)屬性對(duì)的復(fù)合，即：$M_i?N_j?i,j$都構(gòu)成$m\times n$維空間$H$中的一組基，那么這兩個(gè)屬性值就是相互兼容的。
所以，這$m\times n$位的希爾伯特空間就可以寫(xiě)成：
$H=Span(?,M_i?N_j,?),?i<m,j<n$

下面，我們對(duì)相容屬性對(duì)進(jìn)行測(cè)量。
假設(shè)有兩個(gè)相容屬性對(duì)，每個(gè)屬性對(duì)都具有$2$個(gè)可能的屬性值(我們都用$0$和$1$來(lái)表示)。因此，全空間$H$就可以寫(xiě)成這兩個(gè)屬性對(duì)中任意兩個(gè)屬性值的組合張成的空間。
$H=Span(|00?,|01?,|10?,|11?)$

在這些基中，寫(xiě)在左側(cè)的表示第一個(gè)屬性值。下面對(duì)第一個(gè)屬性值等于$0$進(jìn)行測(cè)量：當(dāng)?shù)谝粋€(gè)屬性值等于$0$，第二個(gè)屬性還有$0$和$1$兩種可能，因此二者結(jié)合就張成了一個(gè)二維的線性空間，并且$|00?$和$|01?$構(gòu)成了這個(gè)二維子空間的基向量。所以，對(duì)第一個(gè)屬性值測(cè)量就相當(dāng)于把一個(gè)思維空間投影到二維的平面上面。所以，對(duì)第一個(gè)屬性值測(cè)量就相當(dāng)于把一個(gè)思維空間中的向量投影到二維的平面上。

相容屬性對(duì)的測(cè)量是不區(qū)分順序的。如果先對(duì)第一個(gè)屬性值$0$進(jìn)行測(cè)量，就會(huì)把$4$維投影到$|00?$和$|01?$構(gòu)成的二維平面上，然后再對(duì)第二個(gè)屬性值是否為$0$經(jīng)行測(cè)量，相當(dāng)于把向量投影到$|00?$這個(gè)向量上面。反過(guò)來(lái)，如果先對(duì)第二個(gè)屬性是否為$0$進(jìn)行測(cè)量，最終也會(huì)把向量投影到$|00?$這個(gè)向量上面。所以，這兩種不同順序的測(cè)量是完全相同的。

實(shí)際上，對(duì)相容屬性對(duì)的測(cè)量就是一個(gè)將為的過(guò)程，系統(tǒng)中的向量會(huì)被逐漸壓縮到一條直線上。但是，對(duì)不相容屬性的測(cè)量不會(huì)產(chǎn)生降維的現(xiàn)象。

量子概率與經(jīng)典概率的區(qū)別

性質(zhì)經(jīng)典概率運(yùn)算不兼容屬性下事件A和B的量子概率運(yùn)算

聯(lián)合概率	$Pr(A\wedge B)$	$Pr(A\wedge B)=Pr(B\wedge A)$	無(wú)定義
條件概率	$Pr(A\mid B)$	$Pr(A\mid B)=\frac{Pr(A\wedge B)}{P(B)}$	$\frac{\mid P_A{P}_B\mid z?{\mid }^2}{\mid P_B\mid z?{\mid }^2}$
條件概率	$Pr(B\mid A)$	$Pr(B\mid A)=\frac{Pr(A\wedge B)}{P(A)}$	$\frac{\mid P_B{P}_A\mid z?{\mid }^2}{\mid P_A\mid z?{\mid }^2}$
全概率公式	無(wú)	$Pr(A)=\sum _{i}Pr(A\mid B_i)Pr(B_i)$	不成立
條件概率互易性	$Pr(A\mid B)=Pr(B\mid A)$	不滿足	滿足
雙向隨機(jī)性	$\sum _{i}Pr(A_i\mid B_j)=\sum _{j}Pr(A_i\mid B_j)$	不滿足	滿足

雖然經(jīng)典概率系統(tǒng)的性質(zhì)都可以在量子概率的兼容屬性測(cè)量中找到對(duì)應(yīng)，但是反過(guò)來(lái)，量子概率中的不兼容屬性對(duì)具備的性質(zhì)則具有特殊性，所以說(shuō)量子概率是比經(jīng)典概率蘊(yùn)含了更多東西的概率運(yùn)算系統(tǒng)。

量子測(cè)量

對(duì)于一個(gè)由狀態(tài)$|\psi ?$描述的量子系統(tǒng)，可以由一組測(cè)量算符$\{M_m\}$描述，這里的算符本質(zhì)都是一些比較特殊的矩陣，當(dāng)他們作用在被測(cè)量系統(tǒng)的態(tài)空間上，可能的測(cè)量結(jié)果之一$m$發(fā)生的可能性為：
$$p(m)=?|M_m^{?}{M}_m|?$$
測(cè)量后系統(tǒng)的狀態(tài)為：
$$\frac{M_m|\psi ?}{\sqrt{?|M_m^{?}{M}_m|?}}$$
測(cè)量算子需要滿足完備性方程$\sum _m{M}_m^{?}{M}_m=1$，即：
$$\sum _{m}p(m)=\sum _m?\psi |M_m^{?}{M}_m|\psi ?$$
這幾個(gè)式子非常的復(fù)雜，也難懂，希望我們能通過(guò)下面的例題理解到它的原理。

例$1$ 用$\{|0?,|1?\}$測(cè)量量子態(tài)$|\phi ?=\alpha |0?+\beta |1?(|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1)$
解：$M_0=|0??0|=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],M_1=|1??1|=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$，顯然$M_0^2=M_0,M_1^2=M_1$，所以根據(jù)歸一化原理可得：$I=M_0^{?}{M}_0+M_1^{?}{M}_1$。且$|\phi ?=\alpha |0?+\beta |1?$，故有
$p(0)=?\psi |M_0^{?}{M}_0|\psi ?=?\psi |M_0|\psi ?=|\alpha {|}^2,p(1)=?\psi |M_1^{?}{M}_1|\psi ?=?\psi |M_1|\psi ?=|\beta {|}^2$。即以$|\alpha {|}^2$的概率得到$|0?$，以$|\beta {|}^2$的概率得到$|1?$。

例$2$ 用$\{|+?,|??\}$測(cè)量上述態(tài)時(shí)，可先變形為
$|\phi ?=\frac{\alpha }{\sqrt{2}}(|+?+|??)+\frac{\beta }{\sqrt{2}}(|+??|??)=\frac{\alpha +\beta }{\sqrt{2}}|+?+\frac{\alpha ?\beta }{\sqrt{2}}|??$
將以$|\frac{(\alpha +\beta )}{\sqrt{2}}{|}^2$的概率得到$|+?$，以$|\frac{(\alpha ?\beta )}{\sqrt{2}}{|}^2$的概率得到$|??$

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這周就學(xué)到這里了。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记5的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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