《基于張量網(wǎng)絡(luò)的機器學(xué)習(xí)入門》學(xué)習(xí)筆記6

• 密度算符(密度矩陣)
• • 具體到坐標(biāo)表象
  • • 在純態(tài)上
    • 在混合態(tài)上
  • 純態(tài)下的密度算符
  • 混合態(tài)下的密度算符
  • 密度算符的性質(zhì)
  • 量子力學(xué)性質(zhì)的密度算符描述
  • • 第一公設(shè)(態(tài)描述)
    • 第二公設(shè)(態(tài)演化)
    • 第三公設(shè)(測量公設(shè))
    • 第四公設(shè)(態(tài)空間擴展公設(shè))
  • 約化密度算子

密度算符(密度矩陣)

密度算符(也稱為密度矩陣)是對量子態(tài)的一種不同的描述方法。用密度算符描述量子系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上完全等價于用狀態(tài)向量描述(即所有量子力學(xué)的假設(shè)都可以用密度算符的語言重新描述)。但密度算符在描述未知量子系統(tǒng)和復(fù)合系統(tǒng)子系統(tǒng)方面更具優(yōu)越性。
定義：系綜——設(shè)置子系統(tǒng)以概率$p_i$處于狀態(tài)$|{?}_i?$，稱$\{p_i,|{?}_i?\}$為一個系綜，其中$p_i\ge 0$，且${\sum }_i{p}_i|{?}_i??{?}_i|$它是一個跡為$1$的半正定厄米算子

定義：純態(tài)——在密度算子的定義中，若系統(tǒng)以概率$1$處于某個態(tài)$|??$，即系統(tǒng)由一個態(tài)矢表示，則稱該系統(tǒng)是一個純態(tài)，其密度算子為$|{?}_i??{?}_i|$

定義：混合態(tài)——若定義中每一個概率$p_i$都不為$1$，則說明系統(tǒng)只能由若干不同的態(tài)矢描述，每個子系統(tǒng)$|{?}_i?$以一定的概率$p_i$出現(xiàn)，這樣的系統(tǒng)稱為混合態(tài)
混合態(tài)與純態(tài)的區(qū)別：兩者最打的區(qū)別是$tr({\rho }_{純}^2)=1$，而$tr({\rho }_{混}^2)<1$

具體到坐標(biāo)表象

在純態(tài)上

$\psi (x)=c_1{\psi }_1(x)+c_2{\psi }_2(x)$
坐標(biāo)取$x_0$的概率密度為：$p(x_0)=|\psi (x_0){|}^2=|c_1{\psi }_1(x_0)+c_2{\psi }_2(x_0){|}^2$

在混合態(tài)上

$p(x_0)=|{\psi }_1(x_0){|}^2{p}_1+|{\psi }_2(x_0){|}^2{p}_2$

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總之，在純態(tài)下，兩個態(tài)之間發(fā)生干涉，而在混合態(tài)下，無干涉現(xiàn)象發(fā)生。純態(tài)稱為概率幅的疊加，稱為相干疊加，疊加的結(jié)果形成一個新的狀態(tài)；混合態(tài)為概率的疊加，稱為不相干疊加。

純態(tài)下的密度算符

定義：密度算符——在數(shù)學(xué)上等價于狀態(tài)向量方法，但在某些量子力學(xué)的應(yīng)用場景下利用起來更為方便。可以利用密度算符給出任意力學(xué)量$F$在該狀態(tài)上取值的概率與平均值
F
如果對于一個歸一化態(tài)矢(純態(tài))$|\psi ?$來說，$F$是一個力學(xué)量可觀測量。對應(yīng)的本征值和本征矢量分別為$f_1$和$|{\phi }_i?$，算符$\hat{F}$的測量平均值為：$?F?=?\psi |\hat{F}|\psi ?$
任選一組正交歸一完備基$\{|i?\}$，有：$?F?=\sum _i?\psi |i??i|\hat{F}|\psi ?=\sum _i?i|\hat{F}|\psi ??\psi |i?$
根據(jù)純態(tài)下的密度算符為：$\hat{\rho }=|\psi ??\psi |$，則有：$?F?=\sum _i?i|\hat{F}\hat{\rho }|i?=Tr(\hat{F}\hat{\rho })$
顯然，密度算符是一個投影算符。
力學(xué)量$F$取$f_i$值的概率為$p(f_i)=|?{\phi }_i|\psi ?{|}^2=?{\phi }_i|\psi ??\psi |{\phi }_i?=?{\phi }_i|\rho |{\phi }_i?$，是密度算符在算符$\hat{F}$的第$i$個本征態(tài)上的平均值。
可見，密度算符可以給出任意力學(xué)量$F$在該狀態(tài)上取值的概率與平均值，因此，純態(tài)下的密度算符是可以代替態(tài)矢來描述純態(tài)的一個算符。

混合態(tài)下的密度算符

對于混合態(tài)的定義而言，一個物理量$F$的平均值要通過兩次求平均實現(xiàn)。
第一次。進行量子力學(xué)平均，即求出力學(xué)量$F$在每個參與態(tài)$|{\psi }_i?$上的平均值$?{\phi }_i|\hat{F}|{\phi }_i?$
第二次。進行統(tǒng)計平均，即求出以各自概率出現(xiàn)的量子力學(xué)平均的平均(加權(quán)平均):
$?F?=\sum _i{p}_i?\psi |\hat{F}|\psi ?$
類似純態(tài)的做法，可以得到：
$?F?=\sum _i\sum _j{p}_i?{\psi }_i|j??j|\hat{F}|{\psi }_i?=\sum _j?j|\hat{F}[\sum _i|{\psi }_i?p_i?{\psi }_i|]|j?$

混合態(tài)下的密度算符：$\hat{\rho }=\sum _i|{\psi }_i?p_i?{\psi }_i|,\sum _i{p}_i=1$，則量子力學(xué)量$F$的平均值可以寫成
$?F?=\sum _j?j|\hat{F}[\sum _i|{\psi }_i?p_i?{\psi }_i|]|j?=\sum _j?j|\hat{F}\hat{\rho }|j?=Tr(\hat{F}\hat{\rho })$
力學(xué)量$F$的取值概率為：
$p(f_i)=\sum _j|?{\phi }_i|{\psi }_j?{|}^2{p}_i=\sum _j?{\phi }_i|{\psi }_j?p_j?{\psi }_j|{\phi }_i?=?{\phi }_i|\rho |{\phi }_i?$
上述兩式與純態(tài)有同樣的形式，只不過兩種的密度算符的定義不同而已。

密度算符的性質(zhì)

性質(zhì)一：對于密度算符$\hat{\rho }$(在量子信息表述中常簡寫為$\rho$)有：

性質(zhì)二：密度算符是厄米算符
$${\rho }^{?}=({\sum }_i{p}_i|{?}_i??{?}_i|{)}^{?}={\sum }_i{p}_i|{?}_i??{?}_i|=\rho$$若混合態(tài)是由一系列相互正交的態(tài)構(gòu)成的，則密度算符的本征態(tài)就是參與混合態(tài)的哪些態(tài)$|{?}_i?$，相應(yīng)的本征值就是權(quán)重$p_i$,即：$\rho |{?}_i?=p_i|{?}_i?$

性質(zhì)三：密度算符是半正定
$??|\rho |??=??|({\sum }_i{p}_i|{?}_i??{?}_i|)|??={\sum }_i{p}_i??|{?}_i??{?}_i|??={\sum }_i{p}_i|??|{?}_i?{|}^2\ge 0$

性質(zhì)四：密度算符可以進行譜分解

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量子力學(xué)性質(zhì)的密度算符描述

第一公設(shè)(態(tài)描述)

任意鼓勵的物理系統(tǒng)與希爾伯特空間相關(guān)聯(lián)。系統(tǒng)可以自由作用在狀態(tài)空間的密度算符完全描述。密度算符是一個半正定、跡為$1$的算子$\rho$。如果系統(tǒng)以概率$p_i$處于狀態(tài)${\rho }_i$，則系統(tǒng)的密度算子為${\sum }_i{p}_i{\rho }_i$

第二公設(shè)(態(tài)演化)

若系統(tǒng)在某時刻狀態(tài)為$\rho$，經(jīng)過一段時間變?yōu)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">${\rho }^{{}^{\prime }}$，則必有某幺正矩陣$U$，使得${\rho }^{{}^{\prime }}=U\rho U^{?}$

第三公設(shè)(測量公設(shè))

若系統(tǒng)在測量前的狀態(tài)是$\rho$，測量由算子$\{M_i\}$描述，其中$i$表示可能出現(xiàn)的測量結(jié)果，測量算子滿足完備性關(guān)系${\sum }_i{M}_i^{?}{M}_i=I$，則測量得到$i$的概率為$p(i)=tr(M_i^{?}{M}_i\rho )$

第四公設(shè)(態(tài)空間擴展公設(shè))

復(fù)合系統(tǒng)的狀態(tài)空間是物理系統(tǒng)狀態(tài)空間的張量積。若復(fù)合系統(tǒng)的子系統(tǒng)分別編號為$1$到$n$，每個子系統(tǒng)$i$處于態(tài)${\rho }_i$，則復(fù)合系統(tǒng)態(tài)為${\rho }_1?{\rho }_2???{\rho }_n$

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密度算符在描述量子力學(xué)方面與態(tài)矢量等價，但是在描述未知狀態(tài)的量子系統(tǒng)和復(fù)合系統(tǒng)的子系統(tǒng)這兩個方面上，具有較為突出的作用。

約化密度算子

約化密度算子是分析復(fù)合量子系統(tǒng)必不可少的工具。

定義：約化密度算子——假設(shè)有物理系統(tǒng)$A$和$B$，其狀態(tài)由密度算子${\rho }^{AB}$描述，針對系統(tǒng)$A$和$B$的約化密度算子定義為：
${\rho }^A\equiv t{r}_B({\rho }^{AB}){\rho }^B\equiv t{r}_A({\rho }^{AB})$
其中$t{r}_B$是一個算子映射，稱為在系統(tǒng)$B$上的偏跡。

定義：偏跡——數(shù)學(xué)定義如下：
$$\begin{gathered} {\rho }^B\equiv t{r}_A({\rho }^{AB})=t{r}_A(|a_1??a_2|?|b_1??b_2|)=|b_1??b_2|t{r}_A(|a_1??a_2|)=|b_1??b_2|?a_2|a_1? \\ {\rho }^A\equiv t{r}_B({\rho }^{AB})=t{r}_B(|a_1??a_2|?|b_1??b_2|)=|a_1??a_2|t{r}_B(|b_1??b_2|)=|a_1??a_2|?b_2|b_1? \end{gathered}$$一般來說，復(fù)合系統(tǒng)處于純態(tài)，其子系統(tǒng)也可能為混合態(tài)。
例如$Bell$態(tài)是一個兩量子比特系統(tǒng)純態(tài)：$|{\psi }^{+}?=(\frac{1}{\sqrt{2}})(|0^{(1)}?|1^{(2)}?+|1^{(1)}?|0^{(2)}?)$
其密度算子為：
$$\begin{gathered} \rho =|{\psi }^{+}??{\psi }^{+}|=\frac{1}{2}(|0^{(1)}?|1^{(2)}??1^{(2)}|?0^{(1)}|+|0^{(1)}?|1^{(2)}??0^{(2)}|?1^{(1)}|)+ \\ |1^{(1)}?|0^{(2)}??1^{(2)}|?0^{(1)}|+|1^{(1)}?|0^{(2)}??0^{(2)}|?1^{(1)}|)) \end{gathered}$$

描述量子比特$1$的密度算子為：

顯然，該密度算子的平方跡小于$1$,且它表示的狀態(tài)不能用一個態(tài)矢表示，是一個混合態(tài)。

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本周就到這里了哦！

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记6的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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