核科學與技術學院

《傳熱學》

二維穩態導熱問題的

數值解法作業

姓名：羅曉

學號： 2014151214

班級：任課教師：李磊，張智剛

哈爾濱工程大學

核科學與技術學院

2016 年 11月 28 日

1

問題重述：

第一題：

如圖所示，一個無限長矩形柱體，其橫截面的邊長分別為

L1 和

L2，常物性。該問題可視為二維穩態導熱問題， 邊界條件如圖中所示，

其中 L1

， 2

，

w1

℃， w2

℃， λ

。

=0.6m L =0.4m

T =60

T

=20

=200 W/(mK)

1)

編寫程序求解二維導熱方程。

2)

繪制 x=L1/2 和 y=L2/2 處的溫度場，并與解析解進行比較。已

知矩形內的溫度場的解析解為：

t x, y

t w1

tw2 sin x L1

sh y

L1 。

sh L2

L1

第二題

將第一題中 y

L2 處的邊界條件變為 t tw 2 ，其他條件不變。

1) 編寫程序求解二維導熱方程并計算從

y=0 處導入的熱量 2 。

當 L2 L1 時，該二維導熱問題可簡化為一維導熱問題。 在一維的近

似下，試計算從 y=0 處導入的熱量 1 ，并比較不同 L2/L1 下 2 1 的比值。由該問題的解析解可知：

L /L

1

0.007

0.01

0.05

0.08

0.1

2

2

1

0.9987

0.9912

0.956

0.93

0.912

解：(第一題第一問)

對于此問題， 由于可以視為二維穩態導熱問題，由二維穩態熱傳導

2

2t

2 t

0

基本方程：

2

y2

x

用數值法對該區域進行節點劃分(如下圖所示)：x 方向上一共劃分M

個節點， y 方向上一共劃分N 個節點。

可以將以上方程改為：

tm 1,nt m 1,n

2tm,n

tm,n 1

tm, n 1

2tm,n

0

x2

y2

如果我們取

x

y

則有： tm,n

t m 1,n

tm 1,n

t m 1,n

tm 1,n

4

考慮到節點位置的特殊性，我們在此將節點的種類進行如下劃分，并

給出節點的離散方程。

節點類別下標變化范圍離散方程

am=M;

t M ,ntw1

n=1,2,3,4.........N-1;

bm=0,1,2,3,4,.......M;tm, N tw1 t w2 sin( x / L1)

3

n=N;

c

m=1,2,3,4.......

M-1;

n=1,2,3,4.........

N-1;

d

m=0;

n=1,2,3,4........

N-1;

e

m=0,1,2,3.........

M;

n=0;

t m 1, n

tm 1, n

t m 1, n

tm 1, n

t m , n

4

t1,ntw1

tm,1tw1

由于本題中 L1/L2=3/2, 我們取節點 M=61,N=41 ，則一共可得到61*41

個內節點。

我們采用兩種方法進行編程如下：

編寫程序如下進行迭代計算(注：所用軟件為 Matlab2014a，下同)。

編程源代碼見 附錄一 ：

得到的溫度分布如下圖所示：

采用 C 語言進行編程(編程軟件為 visual studio community2015 ，下同)

4

編程源代碼見 附錄二 ；

迭代初值為 0.000000，

迭代次數為 1326，

得到結果見 附件一；

第一題第二問 ：

在 第 一 問 C 程 序 得 到 的 結 果 中 查 找 (m=40;1=0,1,2,....40) 和

m=1,1,2.....60;n=20)時的溫度值，就可得到 x=L1/2 和 y=L2/2 處的溫度

離散點的值，見 附件二。

按 照 理 論 值 ， y=L2/2

時，溫度場的解析解為

sh

y

L1

t x, yt w1 tw2 sin x L1 sh

L

2

L

tw1 tw2 sin x L1 5.01835

1

將解析法的值與迭代法的值做差得到溫度誤差，用matlab 畫圖，程

序見附錄三 ：

結果如下：

5

同理可得 x=L1/2 時解析法的值與迭代法的值做差得到的溫度誤差的

擬合曲線如下(編程見附錄四 )：

由此可見迭代法求解的溫度場和解析解之間還存在一定的誤差，不過

溫度場的總體趨勢還是相同的。

第二題第一問

編程方法和第一題第一問類似，只需改變一個邊界條件。

這里我們采用matlb 編寫程序(編程源代碼見附錄五)；：

6

從從 y=0 處導入的熱量

2 可以看成是從 n=1 到 n=2 節點傳入的熱量，

(假設矩形柱體的高度為 1m)

t 1 , 2

t 1 ,1

t 2 , 2

總結

以上是生活随笔為你收集整理的c语言求解热传导方程,二维稳态导热问题的数值解法.docx的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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