臺(tái)灣國(guó)立大學(xué)郭彥甫Matlab教程筆記（20） root finding(numeric)

symbolic vs. numeric符號(hào)法和數(shù)值法的區(qū)別對(duì)比
symbolic
1)advantages
analytical solutions解析解
let you intuit憑感覺知道 things about solution form憑感覺知道解的形式
2）disadvantages
sometimes can’t be solved有時(shí)候解不出來
can be overly complicated過于復(fù)雜

numeric
1)advantages
always get a solution通常有解
can make solutions accurate 解很準(zhǔn)確
easy to code 代碼簡(jiǎn)單
2）disadvantages
hard to extract a deeper understanding
很難有更深的理解

這幾課的第二單元

numeric solver數(shù)值解

如何運(yùn)用matlab中的內(nèi)建函數(shù)

回顧一下function handle @
這里為什么還要復(fù)習(xí)function handle 呢？因?yàn)榇龝?huì)講的numeric solver 需要用到function handle

作用：a handle is a function pointer
pass functions to other functions
舉例子：一個(gè)函數(shù)的輸入是一個(gè)函數(shù)
下面是一個(gè)xy_plot()函數(shù)，可以繪制圖像

function [y]=xy_plot(input,x) y=input(x); plot(x,y,'r--'); xlabel('x'); ylabel('function(x)'); end

try：xy_plot(@sin,0:0.01:2pi);%畫出sin（）函數(shù)的圖像
xy_plot(@atan,0:0.01:2pi);%畫出arctan（）函數(shù)的圖像

畫出來的arctan（x）的圖像：

我們開始講numeric root solver 根數(shù)值求解

fsolve()函數(shù)的使用

a numeric root solver

關(guān)于fsolve()函數(shù)的用法：

（來源于百度百科）
舉例

例程：
f2= @(x) (1,2*x+0.3+x.*sin(x));
這個(gè)叫做inline function 內(nèi)聯(lián)函數(shù)

fsolve(f2,0)%f2是一個(gè)函數(shù)句柄， 0是初始猜測(cè)，然后fsolve會(huì)幫我們解這個(gè)方程f(x)=0
代碼：
f2= @(x) (1,2*x+0.3+x.*sin(x));
fsolve(f2,0)%

function tolerance 什么意思呢？ 函數(shù)容差

計(jì)算出來

練習(xí)題：解二元方程組，使用數(shù)值解法fsolve

查資料
在matlab中輸入 help fsolve,然后進(jìn)入 fsolve參考頁，學(xué)習(xí)一下fsolve 的用法

看下面的 二元非線性方程組的求解例題
題目：兩個(gè)變量的方程組如下

求解過程：
【1】寫一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)函數(shù)體中是兩個(gè)代求的方程，然后保存為.m文件
【2】用句柄@調(diào)用函數(shù)
【3】給初值，用fsolve()函數(shù)解決。
（來源：matlab官方文檔）

我的求解過程：
root2d.m文件中：
function F= root2d(x)%函數(shù)名是root2d
F(1)=2x-y-exp(-x);%函數(shù)體是兩個(gè)代求方程
F(2)=-x+2y-exp(-y);
end
上面代碼是錯(cuò)誤的，需要用x(1)和x(2)來表示x和y，不能直接用y。

代碼修改為：
function F= root2d(x)%函數(shù)名root2d
F(1)=2x(1)-x(2)-exp(-x(1));%用x(1) and x(2)表示不同的 變量，比如x，y
F(2)=-x(1)+2x(2)-exp(-x(2));
end

function F= root2d(x)%函數(shù)名root2d F(1)=2*x(1)-x(2)-exp(-x(1));%用x(1) and x(2)表示不同的 變量，比如x，y F(2)=-x(1)+2*x(2)-exp(-x(2)); end

調(diào)用代碼：
fun=@root2d;%函數(shù)句柄調(diào)用root2d函數(shù)
x0=[-5,-5];%初始值
fsolve(fun,x0)

fun=@root2d;%函數(shù)句柄調(diào)用root2d函數(shù) x0=[-5,-5];%初始值 fsolve(fun,x0)

計(jì)算結(jié)果x=0.5671 y=0.5671

另外一個(gè) numeric root solver

fzero()函數(shù)

find the zero if and only if the function crosses the x-axis
fzero 需要注意，函數(shù)必須穿過x軸才有解。如果和x軸相切而不穿過，則fzero解不出來。
舉例：求 f=x^2的根

例程：下面就是解不出來
f=@(x) x.^2;
fzero(f,0.1)%f:function handle ; 0.1:initial guess

f=@(x) x.^2; fzero(f,0.1)%f:function handle ; 0.1:initial guess

運(yùn)行結(jié)果：

可以用fsolve(f,0.1)解出值
但是精度不夠

然后 fsolve() 和 fzero() 函數(shù)有進(jìn)階的用法
options

用法：
options =optimset(‘maxiter’,1e3,‘tolfun’,1e-10);

options =optimset('maxiter',1e3,'tolfun',1e-10);

使用一個(gè)function : optimset () option set 可以使算出來的數(shù)值精度更高

例程：
f=@(x) x.^2;
options =optimset(‘maxiter’,1e3,‘tolfun’,1e-10);
fsolve(f,0.1,options)
fzero(f,0.1,options)

f=@(x) x.^2; options =optimset('maxiter',1e3,'tolfun',1e-10); fsolve(f,0.1,options) fzero(f,0.1,options)

在誤差為1*10的-10次方的情況下，求得數(shù)值解為

數(shù)值解還有另外一個(gè)函數(shù)，用來對(duì)付polynomial多項(xiàng)式

finding roots of polynomials:root()函數(shù)

舉例：

代碼：
roots([1,-3.5,2.75,2.125,-3.875,1.25])
得到多項(xiàng)式的解：

練習(xí)題
使用roots()這個(gè)函數(shù)求解下面多項(xiàng)式的解

代碼：roots([1,-6,-12,81])
得到的多項(xiàng)式的解

這些fsolve 和fzero 是如何運(yùn)作的呢？

兩種主要的數(shù)值求根方法：
一種是有區(qū)間包夾的：括號(hào)法
另一種是沒有區(qū)間包夾的，代表是牛頓法

數(shù)值方法停止運(yùn)算需要兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)要滿足：要么是精度夠了，要么是運(yùn)算次數(shù)達(dá)到了

下面看第一種method

bisection method (bracketing)括號(hào)法

現(xiàn)在進(jìn)行到這里

bisection method (bracketing)

用二分法來找
lowerbond upperbond

iteration 遞歸，迭代
整個(gè)二分法的迭代過程：
其中，r是區(qū)間中點(diǎn)，然后不斷循環(huán)，區(qū)間不斷減半逼近根植

二分算法流程圖
bisection algorithm flowchart

下面看另外一個(gè)方法牛頓法

newton-raphson method(open)牛頓法

適用條件
1）函數(shù)連續(xù)
2）導(dǎo)數(shù)已知

牛頓法算法：

牛頓法思路：過f（x0）一點(diǎn)作切線，交x軸交點(diǎn)為x1，然后找到函數(shù)值f（x1），過該點(diǎn)再作切線，接著交x軸，不停迭代下去。知道找到曲線與x軸交點(diǎn)（方程的根）為止

牛頓法算法流程圖

下面我們來看一下二分法和牛頓法的比較

二分法和牛頓法的優(yōu)缺點(diǎn)：
二分法：需要區(qū)間，結(jié)果比較可靠，但是比較慢
牛頓法：速度快，有時(shí)候不收斂，同時(shí)需要知道函數(shù)的微分

下面是最后一個(gè)單元 遞歸函數(shù)

recursive functions 遞歸函數(shù)

自己調(diào)用自己 functions that call themselves

舉例：計(jì)算階乘factorial

階乘可以用另一個(gè)階乘來表示（遞推公式）
n!=n*(n-1)!

遞歸函數(shù)大家都學(xué)過，這里使用英文版的了解一下。
遞歸函數(shù)需要退出條件，基礎(chǔ)情況；需要遞推公式

下面給出一個(gè)計(jì)算階乘的遞歸函數(shù)

function output =fact(n) if n==1output =1; else output=n*fact(n-1); endend

參考資料：
[1]B站av41338843視頻
[2]matlab官方文檔

【總結(jié)一下】
學(xué)習(xí)了求解非線性方程組的函數(shù)fsolve()的使用。
還有一個(gè)求根函數(shù)fzero()，適用條件：函數(shù)圖像穿過x軸
還有針對(duì)多項(xiàng)式的求根公式roots()

后面介紹了兩種求根的原理：二分法和牛頓法（切線逼近，速度快）
最后提及 遞歸函數(shù)recursive function

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记（20） root finding(numeric)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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