【级数】【马尔科夫链】n乘以x的n次方的和函数
《通信網絡基礎》馬爾可夫鏈中期望的計算
本文解決二如下公式的計算問題
∑n=0∞nρn(1?ρ)=?\sum_{n=0}^{\infty}{n \rho^n(1-\rho)} =?n=0∑∞?nρn(1?ρ)=?
系統穩態的概率
pn=ρnp0p_n=\rho^np_0pn?=ρnp0?
并且
p0=1?ρp_0=1-\rhop0?=1?ρ
則
pn=ρn(1?ρ)p_n=\rho^n(1-\rho)pn?=ρn(1?ρ)
下面求系統內的平均用戶數為N
N=∑n=0∞npn=∑n=0∞nρn(1?ρ)=ρ1?ρN=\sum_{n=0}^{\infty}{np_n}=\sum_{n=0}^{\infty}{n \rho^n(1-\rho)}=\frac{\rho}{1-\rho}N=n=0∑∞?npn?=n=0∑∞?nρn(1?ρ)=1?ρρ?
存在問題的是哪一步呢？
∑n=0∞nρn=?\sum_{n=0}^{\infty}{n\rho^n}=?n=0∑∞?nρn=?
我們將其展開
∑n=0∞nρn=ρ+2ρ2+3ρ3+...+(n?1)ρn?1+nρn+...\sum_{n=0}^{\infty}{n\rho^n}=\rho+2\rho^2+3\rho^3+...+(n-1)\rho^{n-1}+n\rho^n+...n=0∑∞?nρn=ρ+2ρ2+3ρ3+...+(n?1)ρn?1+nρn+...
其實，這是高中所學求和公式的一種。
哪一種？
等差數列?等比數列等差數列*等比數列等差數列?等比數列
等差數列*等比數列求和的解決方法是什么呢？
錯位相減法
令
S=ρ+2ρ2+3ρ3+...+(n?1)ρn?1+nρn(1)S=\rho+2\rho^2+3\rho^3+...+(n-1)\rho^{n-1}+n\rho^n\quad(1)S=ρ+2ρ2+3ρ3+...+(n?1)ρn?1+nρn(1)
兩邊同乘公比ρ\rhoρ,有：
ρS=0+ρ2+2ρ3+...+(n?2)ρn?1+(n?1)ρn+nρn+1(2)\rho S=0+\rho^2+2\rho^3+...+(n-2)\rho^{n-1}+(n-1)\rho^n+n\rho^{n+1}\quad(2)ρS=0+ρ2+2ρ3+...+(n?2)ρn?1+(n?1)ρn+nρn+1(2)
(1)式-(2)式有
(1?ρ)S=ρ+ρ2+ρ3+...+ρn?1+ρn?nρn+1=ρ1?ρ?nρn+1(1-\rho) S=\rho+\rho^2+\rho^3+...+\rho^{n-1}+\rho^n-n\rho^{n+1} =\frac{\rho}{1-\rho} -n\rho^{n+1} (1?ρ)S=ρ+ρ2+ρ3+...+ρn?1+ρn?nρn+1=1?ρρ??nρn+1
則
S=ρ(1?ρ)2?nρn+11?ρS=\frac{\rho}{{(1-\rho)}^2}-\frac{n\rho^{n+1}}{1-\rho} S=(1?ρ)2ρ??1?ρnρn+1?
當n→+∞n\rightarrow+\inftyn→+∞時,由于ρ<1,\rho<1,ρ<1,
lim?n→+∞nρn+11?ρ=0\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n\rho^{n+1}}{1-\rho}=0 n→+∞lim?1?ρnρn+1?=0
這是因為指數函數 ρx+1(ρ<1)\rho^{x+1}(\rho<1)ρx+1(ρ<1) 的變化速度比線性函數 xxx 的變化速度快得多
因此
S=ρ(1?ρ)2,n→+∞S=\frac{\rho}{{(1-\rho)}^2},n\rightarrow+\infty S=(1?ρ)2ρ?,n→+∞
即：
∑n=0∞nρn=ρ(1?ρ)2\sum_{n=0}^{\infty}{n\rho^n}=\frac{\rho}{{(1-\rho)}^2}n=0∑∞?nρn=(1?ρ)2ρ?
所以有
N=∑n=0∞npn=∑n=0∞nρn(1?ρ)=ρ1?ρN=\sum_{n=0}^{\infty}{np_n}=\sum_{n=0}^{\infty}{n \rho^n(1-\rho)}=\frac{\rho}{1-\rho}N=n=0∑∞?npn?=n=0∑∞?nρn(1?ρ)=1?ρρ?
總結
以上是生活随笔為你收集整理的【级数】【马尔科夫链】n乘以x的n次方的和函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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