背包容量m給定，選擇n件物品，求放入背包的最大價值。
其中，物品只能選擇一次，要么放，要么不放。

樸素解法

經典的DP問題

狀態：$f[i][j]$表示選擇前$i$個物品，背包容量為$j$時的最大價值
狀態轉移：
分為兩種情況

所有不選第$i$件物品的方案，那么此時最大價值和選擇前$i?1$件物品相等，即$f[i][j]=f[i?1][j]$

所有選擇第$i$件物品的方案，對于第$i$件物品，其體積$v[i]$ 需要預留出來， 價值是$w[i]$. 則此時的價值等于 第$i$件物品的價值，加上前$i?1$件物品放入容量為$j?v[i]$的背包的價值，即$f[i][j]=w[i]+f[i?1][j?v[i]]$
綜上兩種情況，狀態轉移方程是
$$f[i][j]=max(f[i?1][j],w[i]+f[i?1][j?v[i]])$$

ac代碼

#include<iostream> #include<cstring> using namespace std;const int maxn=1e3+10; int n,m; int v[maxn],w[maxn]; int dp[maxn][maxn];int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v[i]>>w[i];}memset(dp,0,sizeof(dp));//全部置零 for(int i=1;i<=n;i++){//枚舉物品個數 for(int j=1;j<=m;j++){//枚舉背包剩余容量 dp[i][j]=dp[i-1][j];if(j>=v[i])dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);}} cout<<dp[n][m]<<endl;}

空間優化后解法

空間優化后的ac代碼

空間優化需要在原來樸素解法的基礎上進行等價變形
樸素解法是

for(int i=1;i<=n;i++){//枚舉物品個數 for(int j=1;j<=m;j++){//枚舉背包剩余容量 dp[i][j]=dp[i-1][j];if(j>=v[i])dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);} }

現在只需要一維數組dp[maxn]，因為本層的結果只與上層的結果有關。
等價變形的時候去掉第一維，仍然需要和上面兩維邏輯上結果一樣。
下面來看一下去掉一維之后的結果

for(int i=1;i<=n;i++){//枚舉物品個數 for(int j=1;j<=m;j++){//枚舉背包剩余容量 dp[j]=dp[j];//相當于dp[i][j]=dp[i-1][j]if(j>=v[i])dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);}}

第一句dp[j]=dp[j];//相當于dp[i][j]=dp[i-1][j]，因為先計算右邊的dp[j]，對于第i層而言，這個dp是i-1層的計算結果，也就是滿足dp[i][j]=dp[i-1][j]，這個等價可以。

第二句dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);等價于dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);嗎？很遺憾，不等價。為什么？你想啊，等式右邊的dp[j-v[i]]小于等式左邊的dp[j],也就是說，對于第i層而言，dp[j]使用的是本層的dp[j-v[i]]，因為從小到大遍歷，當然本層中位于前面的提前計算過。也就是說dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);等價于第i層dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
而不是第（i-1）層。

怎么樣才能等價于第i-1層呢？
可以從大到小遍歷。因為在計算dp[j]的時候，本層的dp[j-v[i]]還沒有算過
，此時dp[j-v[i]]使用的是上層的結果。即等價于dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);

for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=m;j>=v[i];j--){dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);}

這里遍歷背包容量的時候，需要從大到小遍歷for(int j=m;j>=v[i];j--)

for(int i=1;i<=n;i++)//遍歷物品for(int j=m;j>=v[i];j--){//遍歷背包容量dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);}

以后寫題，按照這個板子寫。

#include<iostream> #include<cstring> using namespace std;const int maxn=1e3+10; int n,m; int v[maxn],w[maxn]; int dp[maxn];int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v[i]>>w[i];}memset(dp,0,sizeof(dp));//全部置零 for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=m;j>=v[i];j--){dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);}cout<<dp[m]<<endl;return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的01背包问题dp优化的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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