多重背包1

有 N 種物品和一個容量是 V的背包。
第 i種物品最多有 si 件，每件體積是 vi，價值是 wi。
求解將哪些物品裝入背包，可使物品體積總和不超過背包容量，且價值總和最大。
輸出最大價值。
輸入格式
第一行兩個整數，N，V，用空格隔開，分別表示物品種數和背包容積。
接下來有 N行，每行三個整數 vi,wi,si，用空格隔開，分別表示第 i種物品的體積、價值和數量。
輸出格式
輸出一個整數，表示最大價值。
數據范圍
0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100

輸入樣例

4 5 1 2 3 2 4 1 3 4 3 4 5 2

輸出樣例：

10

分析：
多重背包是說每個物品可以選擇s次。

狀態表示
f(j)表示背包容量不超過j時候的最大價值
這樣的話狀態轉移
對于第i個物品，有s+1種決策:選擇0個，選擇1個，選擇2個，一直到選擇s個。
如果選擇0個：相當于f(j)
如果選擇1個：相當于 f(j-v)+w
如果選擇2個：相當于 f(j-2v)+2w
…
如果選擇s個：相當于f(j-sv)+sw

然后在上述決策中取最大值。

$f[j]=max(f[j],f[j?v]+w,f[j?2v]+2w,...,f[j?sv]+sw)$,s表示物品最多選擇s次

for(int i=1;i<=n;i++){//枚舉物品for(int j=m;j>=v[i];j--){//枚舉背包容量for(int k=1;k<=s&&k*v[i]<=j;k++)//狀態轉移需要一層循環f[j]=max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);}}

這里的問題：枚舉背包容量的時候應該從小到大枚舉還是從大到小枚舉？
這就要看狀態轉移需要的是i-1層的數據，還是第i層的數據。
如果需要第i-1層的數據，需要從大到小枚舉，對應的是01背包f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-v)+w)。
如果需要第i層更新過的數據，需要從小到大枚舉，對應的是完全背包f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i,j-v)+w)
這里第i-1層數據還是第i層數據指的是max里面第二個f，即是f(i-1,j-v)+w還是f(i,j-v)+w,如果是f(i-1,j-v)+w，則表示第i-1層的數據，如果是f(i,j-v)+w，則表示第i層數據。

對于多重背包
我們稍微分析一下，f(i,j)，如果第i個選一個，那么第i個物品是確定的(體積和價值，背包容量減去v，價值+w)，只需要考慮第i-1個物品，則是f[i-1][j-v[i]]+w[i] ，對應的是第i-1層的數據，故和01背包相似，背包容量從大到小枚舉！

復雜度分析
復雜度$O(n^3)$,未優化

題目數據100以內，可以過。

acwing網站上ac代碼

#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=110; int n,m,v[maxn],w[maxn],s[maxn];//分別表示 重量，價值和物品數量 int f[maxn];//狀態數組：f[j]表示背包容量≤j時候的最大價值 int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];}memset(f,0,sizeof(f));for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=m;j>=v[i];j--){//背包容量從大到小枚舉for(int k=1;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)f[j]=max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);}}cout<<f[m]<<endl;return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的多重背包1dp的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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