寫在前面：授課教師為宋燕，下文所用ppt為宋老師上課的課件。本文僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)。
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文章目錄

• 第二章 線性規(guī)劃和單純形法
• • 第一節(jié) 線性規(guī)劃問(wèn)題及其數(shù)學(xué)模型
  • • 2.1.1問(wèn)題的提出
    • 2.1.2圖解法
    • 2.1.3線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式
    • 2.1.4 線性規(guī)劃問(wèn)題解的概念
    • • 作業(yè)題
  • 第二節(jié) 線性規(guī)劃問(wèn)題的幾何意義
  • 第三節(jié) 單純形法
  • • 2.3.1 單純形法舉例
    • 2.3.2 初始基可行解的確定
    • 2.3.3 最優(yōu)性檢驗(yàn)與解的判別
    • 2.3.4 基變換
    • 2.3.5迭代（旋轉(zhuǎn)運(yùn)算）
  • 第四節(jié) 單純形法的計(jì)算步驟
  • • 2.4.1 單純形表
    • 2.4.2 計(jì)算步驟
    • • 單純形表做題
  • 第五節(jié) 單純形法的進(jìn)一步討論
  • • 2.5.1 人工變量法
    • • 課堂練習(xí)
      • 作業(yè)
• 第三章 對(duì)偶理論和靈敏度分析
• • 第1節(jié) 單純形法的矩陣描述
  • 第2節(jié) 改進(jìn)單純形法
  • • • 改進(jìn)單純形法例題
      • 作業(yè)題
  • 第3節(jié) 對(duì)偶問(wèn)題的提出
  • 第4節(jié) 線性規(guī)劃的對(duì)偶理論
  • • 4.1原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題的關(guān)系
    • • 作業(yè)
    • 4.2 對(duì)偶問(wèn)題的基本性質(zhì)
    • • 作業(yè)
  • 第5節(jié) 對(duì)偶問(wèn)題的經(jīng)濟(jì)解釋
  • 第6節(jié) 對(duì)偶單純形法
  • • 對(duì)偶單純形法例題
    • • 作業(yè)
  • 第7節(jié) 靈敏度分析
  • • 7.1 資源數(shù)量變化的分析
    • 7.2 目標(biāo)函數(shù)中價(jià)值系數(shù)$c_j$的變化分析
    • 7.3 技術(shù)系數(shù)${\alpha }_{ij}$的變化
    • • 靈敏度分析作業(yè)題
  • 第四章 運(yùn)輸問(wèn)題
  • • 第一節(jié) 運(yùn)輸問(wèn)題的典例
    • 第二節(jié) 運(yùn)輸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型
    • 第三節(jié) 求解方法-表上作業(yè)法
  • 第六章 整數(shù)規(guī)劃
  • • • 割平面法求解例題
      • 分支定界法求解例題
• 期末復(fù)習(xí)題
• 期末考試真題2020年（已刪除）

第二章 線性規(guī)劃和單純形法

第一節(jié) 線性規(guī)劃問(wèn)題及其數(shù)學(xué)模型

2.1.1問(wèn)題的提出

線性規(guī)劃通常解決兩類問(wèn)題：

線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型三要素：決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件。

2.1.2圖解法

圖解法求解線性規(guī)劃問(wèn)題

通過(guò)圖解法，可以觀察到線性規(guī)劃的解可能出現(xiàn)下列的情況
（1）唯一最優(yōu)解。
（2）無(wú)窮多最優(yōu)解(多重最優(yōu)解)。
（3）無(wú)界解。
（4）無(wú)可行解。

2.1.3線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式

或者簡(jiǎn)寫為

線性規(guī)劃問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)形式的特點(diǎn)

如何進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化？

例2.3 將例2.1的數(shù)學(xué)模型化為標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃。
不等式約束全是小于號(hào)，直接加上正的松弛變量即可。

例2.4 將下列線性規(guī)劃問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)形式

標(biāo)準(zhǔn)形式如下

2.1.4 線性規(guī)劃問(wèn)題解的概念

線性規(guī)劃問(wèn)題

幾個(gè)重要概念
可行解、可行域、最優(yōu)解、基、基向量、基變量、非基變量、基解、基可行解、可行基。

一篇文章：深入理解線性規(guī)劃中的基可行解

例2.5 求下列約束方程所對(duì)應(yīng)的線性規(guī)劃的所有基解，基可行解。

下面來(lái)解這道題

這里的基為B，滿足m*m，并且組成的列向量線性無(wú)關(guān)(不成比例)

作業(yè)題

解答

第二節(jié) 線性規(guī)劃問(wèn)題的幾何意義

第三節(jié) 單純形法

單純形法是求解線性規(guī)劃的主要算法，1947年由美國(guó)斯坦福大學(xué)教授丹捷格（G.B.Danzig）提出。盡管在其后的幾十年中，又有一些算法問(wèn)世，但單純形法以其簡(jiǎn)單實(shí)用的特色始終保持著絕對(duì)的“市場(chǎng)”占有率。

2.3.1 單純形法舉例

例2.6 試以例2.1來(lái)討論如何用單純形法求解。

解：約束條件(2-12)式的系數(shù)矩陣為

這個(gè)基可行解的經(jīng)濟(jì)含義：工廠沒(méi)有安排生產(chǎn)產(chǎn)品Ⅰ和Ⅱ，資源都沒(méi)有被利用，所以利潤(rùn)為z=0。

從(2-14)可以看到：非基變量x1,x2的系數(shù)都是正數(shù)，因此將非基變量變換為基變量，目標(biāo)函數(shù)的值就可能增大。從經(jīng)濟(jì)意義上講，安排生產(chǎn)產(chǎn)品Ⅰ或Ⅱ，就可以使工廠的利潤(rùn)指標(biāo)增加。
所以只要在目標(biāo)函數(shù)(2-14)的表達(dá)式中還存在有正系數(shù)的非基變量，這表示目標(biāo)函數(shù)值還有增加的可能，就需要將非基變量與基變量進(jìn)行對(duì)換。

2.3.2 初始基可行解的確定

為了確定初始基可行解，要首先找出初始可行基，其方法如下。
1）直接觀察
2）加松弛變量
3）加非負(fù)的人工變量

2.3.3 最優(yōu)性檢驗(yàn)與解的判別

2.3.4 基變換

2.3.5迭代（旋轉(zhuǎn)運(yùn)算）

例7 試用上述方法計(jì)算例6的兩個(gè)基變換。

第四節(jié) 單純形法的計(jì)算步驟

2.4.1 單純形表

為了便于理解計(jì)算關(guān)系，現(xiàn)設(shè)計(jì)一種計(jì)算表，稱為單純形表，其功能與增廣矩陣相似，下面來(lái)建立這種計(jì)算表。
將(2-22)式與目標(biāo)函數(shù)組成n+1個(gè)變量，m+1個(gè)方程的方程組。
線性規(guī)劃的方程組

為了便于迭代運(yùn)算，可將上述方程組寫成增廣矩陣的形式

2.4.2 計(jì)算步驟

單純形表做題

總結(jié)一下計(jì)算單純形表的步驟
1.寫出線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形，找到初始基可行解。
2.列出單純形表，計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)σ，和θ。按照σ最大原則找到換入變量，按照θ最小原則找到換出變量。這里要求在σ＞0中選擇，θ在aj＞0中選擇。 換入變量和換出變量的交點(diǎn)是主元素。

3 初等行變換，把主元素所在列化成只有一個(gè)1，其他全為0.

4 基變量位置上換入變量寫上。
5迭代，直到所有的檢驗(yàn)數(shù)σ都≤0.

第五節(jié) 單純形法的進(jìn)一步討論

2.5.1 人工變量法

人工變量法是解決：線性規(guī)劃的約束條件中沒(méi)有可以作為初始基的單位矩陣



大M只需要添加在缺少單位變量的那個(gè)約束條件上。比如下面的第2、3個(gè)約束才需要添加，而第1個(gè)約束不需要添加，因?yàn)樗呀?jīng)有了x4可以提供單位矩陣。

求最大值問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)中的M的系數(shù)需要是負(fù)號(hào)；求最小值問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)中M的系數(shù)需要是正號(hào)，比如下面這道題目。

課堂練習(xí)

解答
設(shè) Xk表示Xk名司機(jī)和乘務(wù)人員第k班次開(kāi)始上班，接連工作8小時(shí)，也就是說(shuō)，第k班次上班的工作人員可以在第k+1段時(shí)間工作，因此有如下的解答。

解答
常規(guī)的單純形法

作業(yè)

解答：

作業(yè)：使用大M法求解線性規(guī)劃問(wèn)題

解答

用向量單純形法求解線性規(guī)劃問(wèn)題
只要：使用非基變量表示基變量，然后確定入基變量，出基變量；令非基變量等于0，得到基解和目標(biāo)函數(shù)值。查看目標(biāo)函數(shù)中：非基變量的系數(shù)是否為負(fù)，非基變量系數(shù)如果有正的，說(shuō)明還不是最優(yōu)解，一直入基出基迭代。

第三章 對(duì)偶理論和靈敏度分析

第1節(jié) 單純形法的矩陣描述

第2節(jié) 改進(jìn)單純形法

求解線性規(guī)劃問(wèn)題的關(guān)鍵是計(jì)算$B^{?1}$,下面介紹一種比較簡(jiǎn)便的計(jì)算$B^{?1}$的方法。

這里$\xi$表示的是變化過(guò)程，使得該列變成一個(gè)1，其他全是0的形式。具體過(guò)程：該列除以主元素，然后其他行減去 所在位置的值/主元素。

改進(jìn)單純形法例題

矩陣計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)的公式$C_N?C_B{B}^{?1}N$
N是非基變量的系數(shù)矩陣

解答

θ最小規(guī)則，我們需要知道右端系數(shù) $B^{?1}b$,這里$B^{?1}$是單位陣，所以右端系數(shù)還是b，也就是$(8,16,12{)}^T$
而$B^{?1}{P}_S$對(duì)應(yīng)的是換入變量的系數(shù)，這里是x2的系數(shù)$(2，0，4{)}^T$

回顧在單純形表中的步驟，確定換入變量和換出變量之后，就要高斯消元法（初等行變換），對(duì)應(yīng)到矩陣就是求$B^{?1}$

這里P2中主元素的確定還是根據(jù)換入變量和換出變量相交的位置，這里P2是x2換入變量，換出變量是x5，即下圖中第三個(gè)位置，所以，這里的主元素是4

然后$B_1^{?1}$等于$B_0^{?1}$左乘E1。

對(duì)于(5)，現(xiàn)在的基是(P3,P4,P2)，則非基變量的系數(shù)矩陣 N1=(P1,P5)

對(duì)于（6），就是計(jì)算右端常數(shù)值

下面是第二步：

作業(yè)題

解答

第3節(jié) 對(duì)偶問(wèn)題的提出

對(duì)于例1的最大值線性規(guī)劃

第4節(jié) 線性規(guī)劃的對(duì)偶理論

4.1原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題的關(guān)系

對(duì)稱形式（約束條件沒(méi)有等號(hào)）




解答

非對(duì)稱形式

原問(wèn)題中目標(biāo)函數(shù)的價(jià)值向量C，在對(duì)偶問(wèn)題中是約束條件的右端常數(shù)項(xiàng)；
原問(wèn)題中約束條件的右端常數(shù)項(xiàng)b，在對(duì)偶問(wèn)題中是目標(biāo)函數(shù)的價(jià)值系數(shù)；
原問(wèn)題中約束條件的系數(shù)矩陣在對(duì)偶問(wèn)題中進(jìn)行了轉(zhuǎn)置

對(duì)于對(duì)稱的LP問(wèn)題，
如果原問(wèn)題求的是極大化
其對(duì)偶問(wèn)題的決策變量的方向與原問(wèn)題約束條件不等號(hào)方向相反，對(duì)偶問(wèn)題的約束條件不等號(hào)的方向與原問(wèn)題決策變量的方向相同。

如果原問(wèn)題求的是極小化，對(duì)偶問(wèn)題的決策變量和原問(wèn)題的約束條件不等號(hào)相同；對(duì)偶問(wèn)題約束條件的不等號(hào)方向和原問(wèn)題的決策變量的方向相反。

對(duì)偶問(wèn)題的決策變量的方向，去找原問(wèn)題的約束條件的不等號(hào)；
對(duì)偶問(wèn)題的約束條件不等號(hào)的方向，去找原問(wèn)題的決策變量的方向；

寫出非對(duì)稱的對(duì)偶問(wèn)題的思路（僅限于原問(wèn)題是求極大值）
1.將系數(shù)矩陣A轉(zhuǎn)置，把價(jià)值系數(shù)C轉(zhuǎn)置放到常數(shù)項(xiàng)的位置；不等號(hào)的方向去找原問(wèn)題的決策變量的方向；
2.決策變量的方向去找原問(wèn)題約束的不等號(hào)相反。

下面這道題：原問(wèn)題是求極小值！！！

注意：本題原問(wèn)題求的是最小值，也就是說(shuō)對(duì)于對(duì)偶問(wèn)題，其決策變量的方向與原問(wèn)題不等號(hào)方向相同；其約束條件不等號(hào)方向與決策變量相反；

作業(yè)

寫出對(duì)偶問(wèn)題

解答

4.2 對(duì)偶問(wèn)題的基本性質(zhì)

解答

解答
這里利用的是互補(bǔ)松弛性，對(duì)偶問(wèn)題的化為標(biāo)準(zhǔn)形需要添加松弛變量Xs，把最優(yōu)解代入到各個(gè)約束條件中，發(fā)現(xiàn)條件1是等式，所以松弛變量為0，解不出x1；約束條件2 ：代入最優(yōu)解發(fā)現(xiàn)是嚴(yán)格的不等式，所以松弛變量是不等于0的，那么根據(jù)互補(bǔ)松弛性：$x_2?y_{s2}=0$，可以得到x2=0，如下。

這里 原問(wèn)題的兩個(gè)約束條件應(yīng)取等號(hào)原因如下：
y1，y2≥0，這里添加的松弛變量是0，只有在等式的時(shí)候才成立。

作業(yè)

解答
第（1）、（2）題反例：

補(bǔ)充題目

解答

第5節(jié) 對(duì)偶問(wèn)題的經(jīng)濟(jì)解釋

第6節(jié) 對(duì)偶單純形法

對(duì)偶單純形法例題

這里對(duì)偶變量的最優(yōu)解由下表可得，就是松弛變量對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)數(shù)的相反數(shù)。


很難找到初始可行基的意思是：一組$C_N=C_B{B}^{?1}N＜0$很難找到

作業(yè)

解答（1）
詳細(xì)解答過(guò)程

解答（2）

詳細(xì)過(guò)程

第7節(jié) 靈敏度分析

7.1 資源數(shù)量變化的分析

注：下面這道例題求的是在原最優(yōu)解不變的情況下，b2的變化范圍。

常數(shù)對(duì)應(yīng)的是$B^{?1}b$，松弛變量對(duì)應(yīng)的是$B^{?1}$

7.2 目標(biāo)函數(shù)中價(jià)值系數(shù)$c_j$的變化分析

回顧矩陣表示的單純形表

由上圖，我們發(fā)現(xiàn)價(jià)值系數(shù)Cj不影響$B^{?1}$，而是影響檢驗(yàn)數(shù)，而且它可能影響非基變量$C_N$，也可能影響基變量$C_B$.

這里我們令 $C_B{B}^{?1}=P影子價(jià)格$

下圖是例1的表2-5

7.3 技術(shù)系數(shù)${\alpha }_{ij}$的變化

靈敏度分析作業(yè)題

靈敏度分析的任務(wù)：確定各個(gè)變量使得最優(yōu)解保持不變的變化范圍；以及在最優(yōu)解改變的時(shí)候求出相應(yīng)的最優(yōu)解。

自己解答：答案正確

百度文庫(kù)解答

第四章 運(yùn)輸問(wèn)題

第一節(jié) 運(yùn)輸問(wèn)題的典例

第二節(jié) 運(yùn)輸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

第三節(jié) 求解方法-表上作業(yè)法

第六章 整數(shù)規(guī)劃

純整數(shù)規(guī)劃

割平面法求解例題

將割平面添加到約束方程，重新寫單純形表，進(jìn)行計(jì)算。

分支定界法求解例題

期末復(fù)習(xí)題

靈敏度分析題目

解答：
通過(guò)單純形法得到最終的單純形表

根據(jù)資源數(shù)量變化的關(guān)系：計(jì)算

期末考試真題2020年（已刪除）

運(yùn)籌學(xué)期末考試2020年8月30日復(fù)盤

填空題20分 ，選擇題10分 答題70分。

2021年7月5日更新，由于某些原因，該部分已刪除。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的运筹学期末复习2020年的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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