文章目錄

• • 數論
  • • 1. 質數
    • • 質數的判定---試除法
      • 分解質因數---試除法
      • 篩質數
      • • 樸素篩法
        • 埃氏篩法
        • 線性篩法

數論

1. 質數

質數：在大于1的整數中，如果只包含1和它本身這兩個約數，那么這個數就稱為質數。

判斷質數最暴力的寫法，按照質數的定義：看是否有其他的因子。

最樸素的暴力的時間復雜度O(n)

//時間復雜度O(n) bool isPrime(int n){if(n<2) return false;for(int i=2;i<n;i++)if(n%i==0) return false;return true;}

質數的判定—試除法

題目鏈接：Acwing866. 試除法判定質數

優化：枚舉到$\sqrt{n}$，因為因數都是成對出現的，
如果d是n的因子，那么n/d也是n的因子，所以只需要枚舉一部分就行，枚舉哪一部分呢？就是d≤n/d 推出，$d\le \sqrt{n}$

這里$\sqrt{n}$的寫法需要注意，這種調用數學函數$\sqrt{n}$的寫法不好，太慢；另外寫成$i?i\le n$存在溢出風險，最好的寫法是$i\le n/i$

試除法求質數的時間復雜度O($\sqrt{n}$)

//優化成O(根號n) bool isPrime(int n){if(n<2) return false;for(int i=2;i<=n/i;i++)if(n%i==0) return false;return true;}

分解質因數—試除法

題目鏈接：Acwing867. 分解質因數

暴力求質因數

下面i就是質因子，s是質因子i的階數。

暴力的時間復雜度O(n)

void divide(int n){for(int i=2;i<=n;i++){if(n%i==0){ //i一定是質數，因為下面n/=i,n一直在更新，如果是合數的話，已經被2除干凈了int s=0;//統計質因子的階數while(n%i==0){s++;n/=i;}cout<<i<<" "<<s<<endl;}} }

優化

給出一個重要性質：正整數n的因子中，最多包含1個大于$\sqrt{n}$的質因子。（可以用反證法來證明）

這里試除法的優化就是枚舉到$\sqrt{n}$，然后剩下的1個大于$\sqrt{n}$的質因子單獨處理，這樣試除法分解質因數的時間復雜度O($\sqrt{n}$)

ac代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std;//試除法分解質因數 void divide(int n){//處理≤sqrt(n)的質因子for(int i=2;i<=n/i;i++){if(n%i==0){int s=0;while(n%i==0){s++;n/=i;}cout<<i<<" "<<s<<endl;}}//單獨處理大于sqrt(n)的質因子if(n>1) cout<<n<<" "<<1<<endl;}int main(){int n;cin>>n;int tmp;for(int i=0;i<n;i++){cin>>tmp;divide(tmp);cout<<endl;}}

篩質數

題目鏈接acwing868. 篩質數

樸素篩法

樸素篩法的思想：從小到大枚舉所有數，每次刪掉該數的所有倍數，比如枚舉到2，就刪掉所有2的倍數。枚舉到3，就刪掉所有3的倍數。

需要用到prime數組，用來存放所有的質數；st數組，用來記錄是否是某個數的倍數，即判斷哪些是質數。需要count1變量，來存儲質數的個數。

遍歷的時候，需要考慮等號取不取。

樸素篩法的時間復雜度$O(n\times logn)$

#include<bits/stdc++.h> using namespace std;const int maxn=1000010;int prime[maxn];//prime數組存的是從小到大的質數 int count1=0; //質數的個數 bool st[maxn]; //判斷是否是質數//樸素的篩法 void primeNumber(int n){for(int i=2;i<=n;i++){if(!st[i]){ //i不是別人的倍數，那么就是質數prime[count1++]=i;}for(int j=i+i;j<=n;j+=i) st[j]=true;//倍數篩掉}cout<<count1<<endl;}int main(){int n;cin>>n;primeNumber(n);return 0;}

埃氏篩法

優化：不需要篩掉所有數的倍數（合數的倍數一定不是質數，不用管），只需要篩掉質數的倍數，(因為質數的倍數是合數)。

//優化的篩法 void primeNumber1(int n){for(int i=2;i<=n;i++){if(!st[i]){ //i不是別人的倍數，那么就是質數prime[count1++]=i;for(int j=i+i;j<=n;j+=i) st[j]=true;//質數的倍數篩掉} }cout<<count1<<endl;}

有質數定理：當n很大時，1~n中有$\frac{n}{lnn}$個質數。

優化的篩法（埃氏篩法）時間復雜度$O(n\times loglogn)$，可以粗略地看成是O(n)。

兩次提交結果

線性篩法

先說效率，數量級在10^7時候，線性篩法比埃氏篩法快一倍大概。
線性篩法時間復雜度O(n)

線性篩法的核心：一個數k只會被k的最小質因子篩掉。

//線性篩法void primeNumber2(int n){for(int i=2;i<=n;i++){if(!st[i]) prime[count1++]=i;for(int j=0;prime[j]<=n/i;j++){st[prime[j]*i]=true;if(i % prime[j]==0) break; //prime[j]一定是i的最小質因子}}cout<<count1<<endl; }

補充

如何找到第一個大于100000的質數呢？

解答:就是使用試除法判斷質數的方法，從100000開始遍歷，使用標志flag，如果i不是質數，flag=false；如果i是質數，flag=true；然后判斷flag如果等于true，就break跳出循環，輸出i，即為大于100000的最小質數。

#include<bits/stdc++.h> using namespace std;const int maxn=100000;int main(){for(int i=maxn;;i++){bool flag=true;for(int j=2;j<=i/j;j++){if(i%j==0){flag=false;break;}}if(flag){cout<<i<<endl;break;}}} 《新程序員》：云原生和全面數字化實踐50位技術專家共同創作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法刷题-数论-质数的判定、分解质因数、筛质数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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