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題目分析

來源：acwing

分析：
dist[x] 表示從源點到x點的最短距離。

spfa算法求最短路的算法步驟：

初始化一個隊列，將起點入隊。

取出隊頭元素t，遍歷它的所有出邊(t, j, w),意思是從t到j，邊權為w的邊，如果滿足dist[j] > dist[t] + w, 就用的dist[t] + w 更新dist[j].同時，如果j沒有入隊，則將j入隊。

重復上述過程，直到隊列為空。

如果用spfa求負環的話， 需要統計到每個點的最短路所經過的邊數。
用cnt數組來記錄之。

cnt[x] 表示從源點到點x的最短路徑所經過的邊數。

如果到點x 的邊數 $cnt[x]\ge n$，說明了什么呢？說明到x點至少經過了n條邊，則這條最短路至少經過了n+1個點。 根據抽屜原理，總共有n個點，而該路徑上至少有n+1個點，則說明該路徑上至少有2個點是相同的。換句話說，該路徑上是存在環的。

而且呢，由于我們是最短路，它之所以有環，是因為這個環的權值是負值（能夠讓最短路變小，否則不會更新到的）。

綜上，在用spfa求最短路的時候，如果某個點的邊數 $cnt[x]\ge n$，就說明存在負環啦。

另外，這道題目求是否存在負環，不一定從哪個點開始，所以剛開始入隊的時候把所有點都入隊，這樣如果有1點最短路經過的邊數≥n，就可以說明存在負環。

ac代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 2010, M = 10010;int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx; int n, m; bool st[N]; int cnt[N]; int dist[N]; queue<int> q;void add(int a, int b, int c){e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++; }bool spfa(){memset(dist, 0x3f, sizeof dist);for(int i = 1; i <= n; i ++){q.push(i);st[i] = true;}while(q.size()){int t = q.front();q.pop();st[t] = false;for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]){int j = e[i];if(dist[j] > dist[t] + w[i]){dist[j] = dist[t] + w[i];cnt[j] = cnt[t] + 1;// 負環if(cnt[j] >= n) return true;if(!st[j]){q.push(j);st[j] = true;}}}}return false; }int main(){memset(h, -1, sizeof h);cin >> n >> m;while( m --){int a, b, c;cin >> a >> b >> c;add(a, b, c);}if(spfa()) puts("Yes");else puts("No"); }

題目鏈接

https://www.acwing.com/problem/content/854/

總結

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