文章目錄

• • • 題目解答
    • 題目鏈接

題目解答

來源：acwing

分析：

對于$a_0,a_1,...,a_n$，經過計算相鄰的數的平均值得到$b_0,b_1,...,b_n$,現在給定序列b的值，反求序列a的值。

為了處理3者求和，我們使用前綴和的技巧求三個數或者2個數的和： $a_{i?1}+a_i+a_{i+1}=s[i+1]?s[i?2]$

其實，$$b_i=?\frac{a_{i?1}+a_i+a_{i+1}}{3}?=?\frac{s[i+1]?s[i?2]}{3}?$$
等價于 $$3b_i\le s[i+1]?s[i?2]\le 3b_i+2(1)$$

由于題目給定每個店鋪的價格都是正整數
所以還有約束：$$s[i]?s[i?1]\ge 1（2）$$

得到了不等式約束，并且都是作差的形式，所以這是一道差分約束的題目。那么就要往spfa求最短路和最長路的角度去想。這里要求字典序最小的值，按照套路，這里要用最長路，所以三角不等式為：
$$dist[b]\ge dist[a]+c$$

對應的是a到b有一條權值為c的邊。

所以我們對上面的(1)和(2)不等式約束進行變形，同時得到點、邊權的關系:

(1)式可以拆成2個不等式：
$$s[i+1]\ge s[i?2]+3b_i$$

對應的是i-2這個點到i+1這個點有一條權值為$3b_i$的邊
$$s[i?2]\ge s[i+1]?(3b_i+2)$$
對應的是i+1這個點到i-2這個點有一條權值為$?（3b_i+2）$的邊

(2)式對應不等式：
$$s[i]\ge s[i?1]+1$$

對應的是i-1這個點到i這個點有一條權值為$1$的邊

關于差分約束的板子
算法提高課-圖論-差分約束- AcWing 1169. 糖果：spfa求單源最短路、差分約束

這里的最長路指的是，建立一個超級源點0號點，求出所有點到0號點的最長路，為啥求出最長路之后就是我們要求的值呢？ 因為這里本質上求的是一系列不等式：
$s[i]\ge ...\ge s[0]\ge 0$很多這樣的不等式，我們取它們的交集即可。

每一個這樣的不等式鏈路對應圖中的一個最短路（或者最長路），這里是因為求的是最小值，用的是最長路。

ac代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 310, M = N * 3; int n, m; int h[N], e[M],w[M], ne[M], idx; int dist[N], q[N]; int b[N]; bool st[N];void add(int a, int b, int c){e[idx] = b, w[idx] =c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++; }// SPFA求最長路 void spfa(){// 求最長路，需要初始化為-∞memset(dist,-0x3f, sizeof dist);queue<int> q;q.push(0);dist[0] = 0;while(q.size()){auto t = q.front();q.pop();st[t] = false;for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]){int j = e[i];if(dist[j] < dist[t] + w[i]){dist[j] = dist[t] + w[i];if(!st[j]){q.push(j);st[j] = true;}}}} }int main(){memset(h, -1, sizeof h);cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> b[i];//除去端點值需要滿足的條件for(int i = 2; i < n; i ++){add(i -2, i + 1, b[i] * 3 );add( i + 1, i - 2, -(b[i] * 3 + 2));}//端點需要滿足的條件add(0, 2, b[1] * 2), add(2, 0, -(b[1] * 2 + 1));add(n - 2, n, b[n] * 2), add(n, n - 2, -(b[n] * 2 +1));// 所有點都滿足的條件for(int i = 1; i <= n; i ++) add(i - 1, i, 1);// 求最長路spfa();for(int i = 1; i <= n; i ++)// 前綴和求某點的值cout << dist[i] - dist[i - 1] << " ";}

題目鏈接

https://www.acwing.com/problem/content/3268/

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CSP认证201809-4再卖菜[C++题解]：差分约束、前缀和的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。