文章目錄

• 1、DFT泄露原因
• 2、DFT的頻率軸
• • 1、以Hz為單位的頻率軸
  • 2、以Fs歸一化的DFT頻率軸
  • 3、使用歸一化角度的DFT頻率軸

1、DFT泄露原因

一個被稱之為“”泄露“”的特性使得DFT結果只是數字采樣前原始輸入信號真實譜的近似。

我們知道分析頻率是 f(analysis)=(mFs)/N (m取整數)
如果輸入信號在分析頻率 mFs/N 上存在信號分量，如1.5Fs/N（m非整數的地方） ，那么在某種程度上這個輸入信號將會在DFT所有N個輸出分析頻率樣值上出現。

clear;%清除內存 close all;%關閉所有圖形 x=sin(2*pi*(0:63)*3/64);%產生某時段的正弦信號；連續信號頻率3 采樣頻率10 figure; plot(x);%畫圖 grid on;%并打網格 title('時域可分信號','FontSize',14); ylabel('x(n)','FontSize',14); xlabel('n','FontSize',14);%標注X軸，Y軸坐標 xf=fft(x,64);%FFT(X,N)是N點的FFT，如果X小于0，就用0填充 figure; plot((0:63)*64/64,abs(xf(1:64))); grid on;%畫圖 xlabel('KHZ','FontSize',14); ylabel('信號頻譜','FontSize',14);%標注XY軸坐標 title('信號頻譜','FontSize',14);

下面把連續信號改為3.4，頻譜精度為1，這樣分辨率就不夠了，產生了泄露，從公式上來講m只能取整數，取不到3.4。

clear;%清除內存 close all;%關閉所有圖形 x=sin(2*pi*(0:63)*3.4/64);%產生某時段的正弦信號；連續信號頻率3.4 采樣頻率64 figure; plot(x);%畫圖 grid on;%并打網格 title('時域可分信號','FontSize',14); ylabel('x(n)','FontSize',14); xlabel('n','FontSize',14);%標注X軸，Y軸坐標 xf=fft(x,64);%FFT(X,N)是N點的FFT，如果X小于0，就用0填充 figure; plot((0:63)*64/64,abs(xf(1:64))); grid on;%畫圖 xlabel('KHZ','FontSize',14); ylabel('信號頻譜','FontSize',14);%標注XY軸坐標 title('信號頻譜','FontSize',14);

現在我們再來更改輸入序列，看是否會導致頻譜泄露。
現在把輸入序列的點數改為201個點，大于了做FFT的64個點。分辨率是1hz

clear;%清除內存 close all;%關閉所有圖形 x=sin(2*pi*(0:200)*3/64);%產生某時段的正弦信號；連續信號頻率3 采樣頻率64 figure; plot(x);%畫圖 grid on;%并打網格 title('時域可分信號','FontSize',14); ylabel('x(n)','FontSize',14); xlabel('n','FontSize',14);%標注X軸，Y軸坐標 xf=fft(x,64);%FFT(X,N)是N點的FFT，如果X小于0，就用0填充 figure; stem((0:63)*64/64,abs(xf(1:64))); grid on;%畫圖 xlabel('KHZ','FontSize',14); ylabel('信號頻譜','FontSize',14);%標注XY軸坐標 title('信號頻譜','FontSize',14);

并不產生DFT泄露。
下面，我們再把輸入序列的點數小于做FFT的點數。改為61個輸入序列點,發生泄露
clear;%清除內存
close all;%關閉所有圖形
x=sin(2pi(0:60)*3/64);%產生某時段的正弦信號；連續信號頻率0.5 采樣頻率10
figure;
plot(x);%畫圖
grid on;%并打網格
title(‘時域可分信號’,‘FontSize’,14);
ylabel(‘x(n)’,‘FontSize’,14);
xlabel(‘n’,‘FontSize’,14);%標注X軸，Y軸坐標
xf=fft(x,64);%FFT(X,N)是N點的FFT，如果X小于0，就用0填充
figure;
plot((0:63)*64/64,abs(xf(1:64)));
grid on;%畫圖
xlabel(‘KHZ’,‘FontSize’,14);
ylabel(‘信號頻譜’,‘FontSize’,14);%標注XY軸坐標
title(‘信號頻譜’,‘FontSize’,14);

下面我們把采樣率也改改，看與FFT的點數有什么關系么？
clear;%清除內存
close all;%關閉所有圖形
x=sin(2pi(0:63)*3.5/32);%產生某時段的正弦信號；連續信號頻率3.5 采樣頻率32
figure;
plot(x);%畫圖
grid on;%并打網格
title(‘時域可分信號’,‘FontSize’,14);
ylabel(‘x(n)’,‘FontSize’,14);
xlabel(‘n’,‘FontSize’,14);%標注X軸，Y軸坐標
xf=fft(x,64);%FFT(X,N)是N點的FFT，如果X小于0，就用0填充
figure;
plot((0:63)*32/64,abs(xf(1:64)));
grid on;%畫圖
xlabel(‘KHZ’,‘FontSize’,14);
ylabel(‘信號頻譜’,‘FontSize’,14);%標注XY軸坐標
title(‘信號頻譜’,‘FontSize’,14);

通過上面的實際仿真，我們驗證了DFT泄露有兩種原因，
第一原因，就是Fs/N分辨率不夠。
第二原因，就是輸入序列的點數小于了做FFT的點數。

特別提醒：與輸入序列是不是一個周期沒有關系！，這種情況依然能夠輸出正常的DFT。
輸入序列是一個完整周期或者非完整周期均可。你不信！我們實驗數據來看看。
下面是輸入序列N=71個點。肯定不是整的周期吧

**下面是頻譜，清晰可見！沒有泄露！！！！！**這里只取了一半

所以，我們可以得出造成泄露的兩大原因：1，點數小于了FFT點數。2 分辨率不夠
另外，我們再想一下那個公式k代表啥k，就是代表的就是真實模擬頻率！模擬頻率如果剛好等于頻譜數字化的頻率m，落在了分辨率上，那么，就不會造成泄露！
實際信號中，我們的信號頻率不可能剛好在一個整數上，說不定是3.11111111hz，不可能剛好精確3hz，所以必然產生分辨力不夠的問題，從而必然產生DFT泄露。
這里，我還要額外補充一點，書中說，周期輸入信號和非周期輸入信號也會導致DFT泄露，這一點，其實是這樣的，如果點數足夠大于了FFT點數，且滿足了頻率分辨率的情況下，確實是存在這樣的情況，由周期影響，但是，現實生活中，由于噪聲總是存在的，根本就沒有理想的周期信號，所以一段看似周期的信號都是不能代表原始信號的，所以必然存在頻譜泄露。

2、DFT的頻率軸

1、以Hz為單位的頻率軸

以HZ為單位，Fs/N，即為分辨率，長度為Fs為一個周期循環。

2、以Fs歸一化的DFT頻率軸

以Fs歸一化的DFT，需要將信號的頻率f /Fs 進行歸一化，最大頻率為1，以1為一個循環，分辨率是1/N，單位為周期/樣值。

3、使用歸一化角度的DFT頻率軸

頻率變量為w，頻率分辨率是2π/N，重復間隔是2π，以2π為一個循環。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的DFT泄露问题和DFT的频率轴表示方法（第三章离散傅里叶变换（3.8,3.13.4）学习笔记）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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