正定 負定 半正定 半負定

• 正定 負定 半正定 半負定
• • 1. 標量函數
  • • 1.1 正定
    • 1.2 半正定
    • 1.3 負定
    • 1.4 半負定
    • 1.5 不定
  • 2. 二次型函數
  • 3. 矩陣
  • • 3.1 負定矩陣
    • 3.2 正定矩陣
    • • 對稱正定矩陣
      • Hermite正定矩陣
    • 3.3 實對稱矩陣
    • Matlab 判定

正定 負定 半正定 半負定

1. 標量函數

1.1 正定

關于標量函數 $V(x)$ ，如果對于在域 $Q$ 中的所有非零向量 $x$，有 $V(x)>0$，且在 $x=0$ 有 $V(x)=0$，則在域 $Q$ 內稱標量函數 $V(x)$ 為正定。

即僅當 $x=0(x_1=x_2=0)$ 時有 $V(x)=0$，
其余 $V(x)>0$。

例如：$$V(x)=x_1^2+2x_2^2$$

1.2 半正定

如果標量函數 $V(x)$ 除了在原點及某些狀態等于零外，在域 $Q$ 中的所有其它狀態都為正，則標量函數 $V(x)$ 為半正定。

即并不一定是 $x=0$ 時才有 $V(x)=0$，
當 $x_1=?x_2$ 時就有 $V(x)=0$，
其余 $V(x)>0$。

例如：$$V(x)=(x_1+x_2{)}^2$$

1.3 負定

如果標量函數 $?V(x)$ 是正定的，則標量函數 $V(x)$ 為負定。

例如：$$V(x)=?(x_1^2+2x_2^2)$$

1.4 半負定

如果標量函數 $?V(x)$ 是半正定的，則標量函數 $V(x)$ 為半負定。

例如：$$V(x)=?(x_1+x_2{)}^2$$

1.5 不定

如果在域 $Q$ 內，不論 $Q$ 多么小，$V(x)$ 既可以為正值也可以為負值。則標量函數 $V(x)$ 稱為不定。

例如：$$V(x)=x_1{x}_2+x_2^2$$

2. 二次型函數

設 $V(x)$ 是一個二次型函數，即 $V(x)=x^{T}Px$，其中 $P$ 為對稱陣。當 $x=0$時，$V(x)>0$，則 $V(x)$ 是正定的，因而矩陣 $P$ 是正定的。

• 判斷 $V(x)$ 為正定的準則為 $P$ 的所有主子行列式均大于零。
• 判斷 $V(x)$ 為負定的準則為 $P$ 的各階主子行列式 ${\Delta }_i$ 滿足：
  ${\Delta }_i有：i=偶數，{\Delta }_i>0;i=奇數，{\Delta }_i<0。$

Ref: 浙江大學2020公開課【現代控制理論】

3. 矩陣

3.1 負定矩陣

實對稱矩陣 $A$ 是負定的，如果二次型 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=X^{\prime }AX$ 負定。

矩陣負定的充分必要條件是它的特征值都小于零。

若矩陣 $A$ 是 $n$ 階負定矩陣，則 $A$ 的偶數階順序主子式大于 0，奇數階順序主子式小于 0。

負定矩陣是矩陣類中的一種特殊矩陣，它在矩陣理論中占有重要地位。負定矩陣可以看成是與正定矩陣對應的概念，負定矩陣與正定矩陣有著許多相似的性質。

From: 負定矩陣-百度百科

3.2 正定矩陣

（1）廣義定義：設 $M$ 是 $n$ 階方陣，如果對任何非零向量 $z$ ，都有 $z^{T}Mz>0$ ，其中 $z^T$ 表示 $z$ 的轉置，就稱 $M$ 為正定矩陣。

例如：$B$ 為 $n$ 階矩陣，$E$ 為單位矩陣，$a$ 為正實數。在 $a$ 充分大時， $aE$ + $B$ 為正定矩陣。（ $B$ 必須為對稱陣）

（2）狹義定義：一個 $n$ 階的實對稱矩陣 $M$ 是正定的的條件是當且僅當對于所有的非零實系數向量 $z$ ，都有 $z^{T}Mz>0$ 。其中 $z^T$ 表示 $z$ 的轉置。

對稱正定矩陣

設 $A\in R^{n\times n}$ ，若 $A=A^T$ ，對任意的 $0=X\in R^n$ ，都有 $X^{T}AX>0$ ，則稱 $A$ 為對稱正定矩陣。

Hermite正定矩陣

設 $A\in R^{n\times n}$ ，若 $A=A^{?}$ ，對任意的 $0=X\in C^n$ ，都有 $X^{?}AX>0$ ，則稱 $A$ 為Hermite正定矩陣 [2] 。

From: 正定矩陣-百度百科

3.3 實對稱矩陣

如果有 $n$ 階矩陣 $A$，其矩陣的元素都為實數，且矩陣 $A$ 的轉置等于其本身（$a_{ij}=a_{ji}$），( $i,j$ 為元素的腳標），則稱 $A$ 為實對稱矩陣。

Matlab 判定

Ref: 本主題介紹如何使用 chol 和 eig 函數來確定矩陣是否為對稱正定矩陣（特征值全為正的對稱矩陣）

From: 實對稱矩陣-百度百科

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】标量函数、二次型函数、矩阵、正定负定半正定半负定的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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