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第2章-\lambda 矩陣與 Jordan 標準形

• • 2.1 $\lambda$ 矩陣
  • • 2.1.1 $\lambda$ 矩陣的概念
    • 2.1.2 $\lambda$ 矩陣在相抵下的標準形
    • 2.1.3 不變因子與初等因子
  • 2.2 若兒當標準形
  • • 2.2.1 數字矩陣化為相似的若兒當標準形
    • • 定義 2.2.1 （$m_i$ 階若爾當塊）
      • 定義 2.2.2 （$n$ 階若爾當標準形）
      • 定義 2.2.3 （次）
      • 引理
      • 定理 2.2.1
      • 定理 2.2.2
      • 推論
      • 定理 2.2.3
    • 2.2.2 若兒當標準形的其他求法
  • B 站視頻課
  • • • 定理1 （Jordan 標準形的存在性）
      • 定理2 （Jordan 標準形的唯一性）
      • 定理3 （）

2.1 $\lambda$ 矩陣

$$?\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & ?& \\ & & {\lambda }_n\end{array}?$$

2.1.1 $\lambda$ 矩陣的概念

2.1.2 $\lambda$ 矩陣在相抵下的標準形

2.1.3 不變因子與初等因子

2.2 若兒當標準形

2.2.1 數字矩陣化為相似的若兒當標準形

虧損矩陣不能相似于對角陣，但它能相似于一個形式上比對角陣稍復雜的若爾當標準形 $J$。

定義 2.2.1 （$m_i$ 階若爾當塊）

形如
$${?\begin{array}{r}\begin{array}{cccccc}{\lambda }_i& 1& & & & \\ & {\lambda }_i& 1& & & \\ & & ?& ?& & \\ & & & {\lambda }_i& 1& \\ & & & & {\lambda }_i& \end{array}\end{array}?}_{m_i\times m_i},$$

的方陣稱為 $m_i$ 階若爾當塊。其中 ${\lambda }_i$ 可以是實數 $\mathbb{R}$，也可以是復數 $\mathbb{C}$。

定義 2.2.2 （$n$ 階若爾當標準形）

由若干個若爾當塊組成的分塊對角陣
$${?\begin{array}{r}\begin{array}{cccc}{J}_1& & & \\ & J_2& & \\ & & ?& \\ & & & J_t\end{array}\end{array}?}_{m_i\times m_i},$$

其中 $J_i(i=1,2,?,t)$ 為 $m_i$ 階若爾當塊，當 ${\sum }_{i=1}^t{m}_i=n$ 時，稱為 $n$ 階若爾當標準形，記為 $J$。

定義 2.2.3 （次）

引理

設 $A(\lambda )$ 和 $B(\lambda )$ 分別為 $L$ 次和 $m$ 次的 $n$ 階 $\lambda$ 矩陣，即有
$$A(\lambda )=$$

定理 2.2.1

矩陣 $A～B$ 的充要條件是它們相應的特征矩陣 $\lambda I?A?\lambda I?B$。

定理 2.2.2

每個 $n$ 階矩陣 $A$ 都與一個若爾當標準形 $J$ 相似，且這個若爾當標準形在不計其中若爾當塊的排列次序時，完全由矩陣 $A$ 惟一決定（即每個矩陣都有若爾當標準形）。

推論

矩陣 $A$ 可對角化的充要條件是 $A$ 的特征矩陣的初等因子全為一次式。

定理 2.2.3

設 $\mathcal{A}$ 是復數域上 $n$ 維線性空間 $V$ 上的線性變換，則在 $V$ 中存在一組基使得 $\mathcal{A}$ 在這組基下的矩陣是若爾當形矩陣。

2.2.2 若兒當標準形的其他求法

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B 站視頻課

定理1 （Jordan 標準形的存在性）

設 $A$ 為 $n$ 階復矩陣，則存在可逆的 $n$ 階復矩陣 $C$，使得 $C^{?1}AC=J$ 為 Jordan 形矩陣（稱 $J$ 為 $A$ 的 Jordan 標準形）。

注：
$$?\begin{array}{r}\begin{array}{cccc}{J}_1& & & \\ & J_2& & \\ & & ?& \\ & & & J_s\end{array}\end{array}?～?\begin{array}{r}\begin{array}{cccc}{J}_{i_1}& & & \\ & J_{i_2}& & \\ & & ?& \\ & & & J_{i_s}\end{array}\end{array}?$$

其中 $i_1,i_2,?,i_s$ 為 $1,2,?,s$ 的一個排列。

定理2 （Jordan 標準形的唯一性）

設 $A$ 為 $n$ 階復矩陣，${\lambda }_0$ 為 $A$ 的特征值，$k$ 為正整數，則 $A$ 的 Jordan 標準形中
$${?\begin{array}{r}\begin{array}{cccccc}{\lambda }_0& 1& & & & \\ & {\lambda }_0& ?& & & \\ & & ?& ?& & \\ & & & {\lambda }_0& 1& \\ & & & & {\lambda }_0& \end{array}\end{array}?}_{k\times k}$$

的個數等于 $r(B^{k?1})?2r(B^k)+r(B^{k+1})$，其中 $B=A?{\lambda }_{0}E$。

因此，若不計 Jordan 塊的次序，則 $A$ 的 Jordan 標準形是唯一的。

注：
當 $k=1$ 時，有 $B^0$。此時對于 $m$ 階矩陣 $B$，規定 $B^0=E$，$r(B^0)=r(E)=m$。

定理3 （）

設 $A,B$ 為 $n$ 階復矩陣，則 $A$ 與 $B$ 相似的充要條件是 $A$ 與 $B$ 有相同的 Jordan 標準形。

Ref: 若爾當標準形簡介

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第2章-\lambda 矩阵与 Jordan 标准形的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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