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第3章 矩陣的分解

• • 3.1 矩陣的三角分解
  • • 3.1.1 消元過程的矩陣描述
    • 3.1.2 矩陣的三角分解
    • 3.1.3 常用的三角分解公式
  • 3.2 矩陣的 QR(正交三角) 分解
  • • 3.2.1 QR 分解的概念
    • 3.2.2 QR 分解的實際求法
    • • 1. 吉文斯 (Givens) 方法
      • 2. 豪斯霍爾德 (Housholder) 方法
  • 3.3 矩陣的最大秩分解
  • 3.4 矩陣的奇異值分解和極分解
  • • • • 定義 3.4.1 奇異值
        • 定理 3.4.2 奇異值分解
  • 3.5 矩陣的譜分解
  • • 3.5.1 正規矩陣（可以酉對角化）
    • • • 定義 3.5.1 正規矩陣
        • 實正規矩陣
        • 定理 3.5.1
    • 3.5.2 正規矩陣的譜分解
    • 3.5.3 單純矩陣（可相似對角化）的譜分解
    • • • 左特征向量、右特征向量
        • 譜分解
        • • 擴展：譜半徑 spectrum radius
          • 擴展：為什么若迭代矩陣的譜半徑小于1，則對任意初始向量都收斂?

3.1 矩陣的三角分解

3.1.1 消元過程的矩陣描述

3.1.2 矩陣的三角分解

3.1.3 常用的三角分解公式

3.2 矩陣的 QR(正交三角) 分解

3.2.1 QR 分解的概念

如果實（復）非奇異矩陣 $A$ 能化成正交（酉）矩陣 $Q$ 與實（復）非奇異上三角矩陣 $R$ 的乘積，即
$$A=QR\text{\hspace{1em}(3.2.1)}$$
則稱此為 $A$ 的 $QR$ 分解。

3.2.2 QR 分解的實際求法

1. 吉文斯 (Givens) 方法

2. 豪斯霍爾德 (Housholder) 方法

3.3 矩陣的最大秩分解

3.4 矩陣的奇異值分解和極分解

定義 3.4.1 奇異值

設 $A\in {\mathbb{C}}_r^{m\times n}$，$A^{H}A$ 的特征值為
$${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge ?{\lambda }_r>{\lambda }_{r+1}={\lambda }_{r+2}=?{\lambda }_n=0，$$

則稱 ${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}(i=1,2,?,r)$ 為矩陣 $A$ 的正奇異值，簡稱奇異值。

定理 3.4.2 奇異值分解

設 $A\in {\mathbb{C}}_r^{m\times n}$，則存在 $m$ 階酉矩陣 $U$ 和 $n$ 階酉矩陣 $V$，使得
$$U^{H}AV=\left[\begin{array}{cc}\Delta & 0\\ 0& 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3.4.2)}$$

或
$$A=U\left[\begin{array}{cc}\Delta & 0\\ 0& 0\end{array}\right]V^H\text{\hspace{1em}(3.4.3)}$$

其中，$\Delta =diag({\sigma }_1,{\sigma }_2,?,{\sigma }_r)$，${\lambda }_i$ 為 $A{A}^H$ 的非零特征值，且 ${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}(i=1,2,?,r)$，而 ${\sigma }_i$ 是 $A$ 的全部奇異值。

3.5 矩陣的譜分解

3.5.1 正規矩陣（可以酉對角化）

定義 3.5.1 正規矩陣

設 $A$ 是復數域上的方陣，如果有
$$A{A}^H=A^{H}A\text{\hspace{1em}(3.5.1)}$$

則稱 $A$ 為正規矩陣。

實正規矩陣

如果 $A$ 是實數域上的方陣，如果有
$$A{A}^T=A^{T}A\text{\hspace{1em}(3.5.2)}$$

則稱 $A$ 為實正規矩陣。

定理 3.5.1

設 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$，則 $A$ 酉相似于對角矩陣的充要條件是 $A$ 為正規矩陣。

3.5.2 正規矩陣的譜分解

設 $A$ 為正規矩陣，由定理 3.5.1 可知，存在酉矩陣 $U$ 使得 $U^{H}AU=diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,?,{\lambda }_n)$，因而
$$A=Udiag({\lambda }_1,{\lambda }_2,?,{\lambda }_n)U^H$$

令 $U=({\alpha }_1,{\alpha }_2,?,{\alpha }_n)$，則
$$\begin{array}{rl}A& =({\alpha }_1,{\alpha }_2,?,{\alpha }_n)?\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & ?& \\ & & & {\lambda }_n\end{array}??\begin{array}{c}{\alpha }_1^H\\ {\alpha }_2^H\\ ?\\ {\alpha }_n^H\end{array}?\\ & =({\lambda }_1{\alpha }_1{\alpha }_1^H+{\lambda }_2{\alpha }_2{\alpha }_2^H+?+{\lambda }_n{\alpha }_n{\alpha }_n^H)\end{array}\text{\hspace{1em}(3.5.3)}$$

由于 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,?,{\lambda }_n$ 為 $A$ 的特征值，${\alpha }_1,{\alpha }_2,?,{\alpha }_n$ 為對應的兩兩正交的單位特征向量，故上式稱為正規矩陣 $A$ 譜分解或特征（值）分解。

3.5.3 單純矩陣（可相似對角化）的譜分解

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左特征向量、右特征向量

右特征向量 $x_i$ 如下，也是默認常用向量形式：
$$A{x}_i={\lambda }_i{x}_i$$

左特征向量 $y_i^T$ 如下：
$$A^T{y}_i={\lambda }_i{y}_i,i=1,2,?,n\text{\hspace{1em}(3.5.13)}$$

上式兩端取轉置得
$$y_i^{T}A={\lambda }_i{y}_i^T,i=1,2,?,n\text{\hspace{1em}(3.5.14)}$$

又見：【數理知識】特征值、特征向量、左特征向量

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譜分解

單純矩陣 $A$ 的譜分解如下，即 $A$ 分解成 $n$ 個矩陣 $G_i$ 之和的形式，其線性組合系數是 $A$ 的譜（所有的特征值）。
$$A=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{G}_i\text{\hspace{1em}(3.5.20)}$$

其中，
$$G_i=x_i{y}_i^T\text{\hspace{1em}(3.5.19)}$$

其中，$y_i^T$ 為 $A$ 的左特征向量，$x_i$ 為 $A$ 的右特征向量。

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擴展：譜半徑 spectrum radius

在數學中，矩陣或者有界線性算子的譜半徑是指其特征值絕對值集合的上確界，一般若為方陣 $A$ 的譜半徑則寫作 $\rho (A)$
$$\rho (A)=\underset{1\le i\le n}{\max }|{\lambda }_i|$$

擴展：為什么若迭代矩陣的譜半徑小于1，則對任意初始向量都收斂?

首先知道 $$\rho (B)<1?\underset{n\to \infty }{\lim }{B}^n=0$$

From: 為什么若迭代矩陣的譜半徑小于1，則對任意初始向量都收斂

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第3章-矩阵的分解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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