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第4章-賦范線性空間與矩陣范數

• • 4.1 賦范線性空間
  • • 4.1.1 向量的范數
    • 4.1.2 向量范數的性質
  • 4.2 矩陣的范數
  • • 4.2.1 矩陣范數的定義與性質
    • 4.2.2 算子范數
    • • 定理 4.2.2 算子范數
    • 4.2.3 譜范數的性質和譜半徑
    • • 定義 4.2.3 譜半徑
  • 4.3 攝動分析與矩陣的條件數
  • • 4.3.1 病態方程組與病態矩陣
    • 4.3.2 矩陣的條件數
    • 4.3.3 矩陣特征值的攝動分析
    • • 定義 4.3.3 蓋爾圓
      • 定理 4.3.2 （蓋爾定理又稱圓盤定理）

4.1 賦范線性空間

4.1.1 向量的范數

4.1.2 向量范數的性質

4.2 矩陣的范數

4.2.1 矩陣范數的定義與性質

4.2.2 算子范數

定理 4.2.2 算子范數

4.2.3 譜范數的性質和譜半徑

我們知道，矩陣的算子范數 $||A|{|}_2$ 稱為 $A$ 的譜范數，它的值是通過矩陣 $A^{H}A$ 的最大特征值來計算的，盡管求特征值比較麻煩，但這種范數有非常好的性質。

定義 4.2.3 譜半徑

設 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$，${\lambda }_1,{\lambda }_2,?,{\lambda }_n$ 為 $A$ 的特征值，我們稱下式為 $A$ 的譜半徑。
$$\rho (A)=\underset{i}{\max }|{\lambda }_i|\text{\hspace{1em}(4.2.17)}$$

譜半徑在幾何上可以解釋為：以原點為圓心、能包含 $A$ 的全部特征值的圓的半徑中最小的一個。

4.3 攝動分析與矩陣的條件數

4.3.1 病態方程組與病態矩陣

4.3.2 矩陣的條件數

4.3.3 矩陣特征值的攝動分析

定義 4.3.3 蓋爾圓

設 $A=(a_{ij})$ 為任一 $n$ 階復數矩陣，復平面上的 $n$ 個圓盤
$$G_i(A):|z?a_{ii}|\le R_i,i=1,2,?,n$$

這里以 $R_i={\sum }_{j=1,j=i}^n|a_{ij}|$ 為半徑的圓（即圓盤的邊界），稱為矩陣 $A$ 的 Gerschgorin 圓，簡稱蓋爾圓。

定理 4.3.2 （蓋爾定理又稱圓盤定理）

設 $A=(a_{ij})\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ ，則

$A$ 的特征值都在 $n$ 個圓盤 $G_i(A)$ 的并集內（換句話說，$A$ 的每個特征值都落在 $A$ 的某個圓盤之內），即
$$\lambda (A)?\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{G}_i(A)；$$

矩陣 $A$ 的任一個由 $m$ 個圓盤組成的連通區域中，有且只有 $A$ 的 $m$ 個特征值（當 $A$ 的主對角線上有相同元素時，則按重復次數計算，有相同特征值時也需按重復次數計算）。

關于蓋爾圓的原理和實現還可參考文章：
【控制】蓋爾圓盤定理
【Matlab 控制】繪制蓋爾圓

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第4章-赋范线性空间与矩阵范数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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