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第4章-賦范線性空間與矩陣范數(shù)

• • 4.1 賦范線性空間
  • • 4.1.1 向量的范數(shù)
    • 4.1.2 向量范數(shù)的性質(zhì)
  • 4.2 矩陣的范數(shù)
  • • 4.2.1 矩陣范數(shù)的定義與性質(zhì)
    • 4.2.2 算子范數(shù)
    • • 定理 4.2.2 算子范數(shù)
    • 4.2.3 譜范數(shù)的性質(zhì)和譜半徑
    • • 定義 4.2.3 譜半徑
  • 4.3 攝動(dòng)分析與矩陣的條件數(shù)
  • • 4.3.1 病態(tài)方程組與病態(tài)矩陣
    • 4.3.2 矩陣的條件數(shù)
    • 4.3.3 矩陣特征值的攝動(dòng)分析
    • • 定義 4.3.3 蓋爾圓
      • 定理 4.3.2 （蓋爾定理又稱圓盤定理）

4.1 賦范線性空間

4.1.1 向量的范數(shù)

4.1.2 向量范數(shù)的性質(zhì)

4.2 矩陣的范數(shù)

4.2.1 矩陣范數(shù)的定義與性質(zhì)

4.2.2 算子范數(shù)

定理 4.2.2 算子范數(shù)

4.2.3 譜范數(shù)的性質(zhì)和譜半徑

我們知道，矩陣的算子范數(shù) $||A|{|}_2$ 稱為 $A$ 的譜范數(shù)，它的值是通過矩陣 $A^{H}A$ 的最大特征值來計(jì)算的，盡管求特征值比較麻煩，但這種范數(shù)有非常好的性質(zhì)。

定義 4.2.3 譜半徑

設(shè) $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$，${\lambda }_1,{\lambda }_2,?,{\lambda }_n$ 為 $A$ 的特征值，我們稱下式為 $A$ 的譜半徑。
$$\rho (A)=\underset{i}{\max }|{\lambda }_i|\text{\hspace{1em}(4.2.17)}$$

譜半徑在幾何上可以解釋為：以原點(diǎn)為圓心、能包含 $A$ 的全部特征值的圓的半徑中最小的一個(gè)。

4.3 攝動(dòng)分析與矩陣的條件數(shù)

4.3.1 病態(tài)方程組與病態(tài)矩陣

4.3.2 矩陣的條件數(shù)

4.3.3 矩陣特征值的攝動(dòng)分析

定義 4.3.3 蓋爾圓

設(shè) $A=(a_{ij})$ 為任一 $n$ 階復(fù)數(shù)矩陣，復(fù)平面上的 $n$ 個(gè)圓盤
$$G_i(A):|z?a_{ii}|\le R_i,i=1,2,?,n$$

這里以 $R_i={\sum }_{j=1,j=i}^n|a_{ij}|$ 為半徑的圓（即圓盤的邊界），稱為矩陣 $A$ 的 Gerschgorin 圓，簡稱蓋爾圓。

定理 4.3.2 （蓋爾定理又稱圓盤定理）

設(shè) $A=(a_{ij})\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ ，則

$A$ 的特征值都在 $n$ 個(gè)圓盤 $G_i(A)$ 的并集內(nèi)（換句話說，$A$ 的每個(gè)特征值都落在 $A$ 的某個(gè)圓盤之內(nèi)），即
$$\lambda (A)?\underset{i=1}{\overset{n}{?}}{G}_i(A)；$$

矩陣 $A$ 的任一個(gè)由 $m$ 個(gè)圓盤組成的連通區(qū)域中，有且只有 $A$ 的 $m$ 個(gè)特征值（當(dāng) $A$ 的主對角線上有相同元素時(shí)，則按重復(fù)次數(shù)計(jì)算，有相同特征值時(shí)也需按重復(fù)次數(shù)計(jì)算）。

關(guān)于蓋爾圓的原理和實(shí)現(xiàn)還可參考文章：
【控制】蓋爾圓盤定理
【Matlab 控制】繪制蓋爾圓

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第4章-赋范线性空间与矩阵范数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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