Fax J A, Murray R M. Information flow and cooperative control of vehicle formations[J]. IEEE transactions on automatic control, 2004, 49(9): 1465-1476.

Information Flow and Cooperative Control of Vehicle Formations

• Who 簡介
• Algorithm / Theorem 算法定理
• • Theorem1.
  • Theorem2.(Perron-Frobenius)
  • Theorem3.
  • Proposition 1.
  • Proposition 2.
  • Proposition 3.
  • Proposition 4.
  • Theorem 4.
  • Lemma 5.
  • Theorem 6.
  • Theorem 7.
  • Lemma 8.
  • Lemma 9.
  • Theorem 10.
  • Theorem 11.
  • Theorem 12.
  • Theorem 13.
• Terminology 專業術語及解釋
• • 1. aperiodic graph ---> primitive
  • 2. k-periodic ---> imprimitive, or cyclic of index k
  • 3. multiplicity （根的）重數
  • 4. Schur transformation 舒爾分解
  • 5. Stability margins 穩定裕度
  • 6. Periodic
  • 7. Periodicity
  • 8. Symmetry
  • 9. Perron disk
  • 10. Aperiodicity
  • 11. neutrally stable
  • 12. Negative inverse 負倒數
  • 13. offset
• Proof 證明
• Conclusions 亮點總結

Who 簡介

Algorithm / Theorem 算法定理

Theorem1.

有 $n$ 階非負矩陣 $A$，下述 4 個條件是等價的：

$A$ 是不可簡約的；

$A^T$ 是不可簡約的；

圖 $G$ 強連通的；

$(I_n+A{)}^{n?1}>0$。

Theorem2.(Perron-Frobenius)

令 $A$ 是非負的，不可簡約矩陣，下述 4 個條件是真的，$\rho (A)>0$ 是矩陣的譜圖半徑 (Spectral radius)：

$\rho (A)>0$；

$\rho (A)$是簡單特征值，那么所有具有相等模的特征值也是簡單的；

矩陣有一個關于 $\rho (A)$ 的正特征向量 $x$ ；

$B>A?\rho (B)>\rho (A)$。

更進一步，如果 $A$ 是原始的 (primitive)，那么矩陣 $A$ 的所有非 $\rho (A)$ 特征值有嚴格小于 $\rho (A)$ 的模。

Theorem3.

非負、不可簡約矩陣 $A$，有索引為 $k$ 的環，那么就有 $k$ 個模為 $\rho (A)$ 的特征值等于：

$${\lambda }_i=\rho (A)e^{\frac{2\pi j}{k}i},i=0,?,k?1.$$

Proposition 1.

0是拉普拉斯矩陣的特征值

Proposition 2.

所有特征值都在圓心為 $1+0j$，半徑為 $1$ 的圓內

Proposition 3.

如果圖示強連通的，0特征值是單一的 (simple)；如果圖是周期的 (aperiodic)，所有非零特征值都位于 Perron disk 的內部；如果圖是 (k-periodic) 的，矩陣有位于 Perron disk 邊界的 k 平均排列特征值。

Proposition 4.

如果圖是無向的，所有特征值都是實數。

Theorem 4.

控制器 $K(s)$ 滿足以下條件時，能穩定方程（10）中的系統，
$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =P_{A}x+P_{B}u\\ y& =P_{C_1}x\\ z& ={\lambda }_i{P}_{C_2}x\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$

Lemma 5.

定義 $X$ 是一個 $r\times s$ 的矩陣，$Y$ 是一個 $N\times N$ 的矩陣，那么
$$\hat{X}{Y}_{(s)}=Y_{(r)}\hat{X}$$

Theorem 6.

假設 $P(s)=P_{C_2}(sI?P_A{)}^{?1}{P}_B$ 是 SISO 系統。那么當 $K(s)P(s)$ 的奈氏圖對所有特征值都不形成 $?{\lambda }^{?1}$ 的包圍時，控制器 $K(s)$ 能穩定系統。

Theorem 7.

當
$$\rho (C(j\omega ))<M^{?1}?\omega \in (?\infty ,\infty )$$

時，$K(s)$ 能穩定 MIMO 系統 $P(s)$。

Lemma 8.

$$G^j=E+(G?E{)}^j$$

Lemma 9.

$G?E$ 的特征值，等價于 $G$ 的 Perron 特征值替換一個 0 特征值得到。

Theorem 10.

假設圖 $G$ 是強連通 (strongly connected) 且非周期 (aperiodic) 的，并且輸入 $y_k$ 在有限時間固定。那么公式（23）離散動態系統的穩態值在 $p_0=0$ 時等于：
$$p_{ss}^i=y^i?\sum _{j=1}^N{e}_l^j{y}^j$$

這里 $e_l^i$ 是 $G$ 的左 Perron 特征向量的第 $i$ 個元素，同比縮小為 $\sum e_l^i=1$。

Theorem 11.

公式（31）的系統是中立 (neutrally) 穩定的，如果傳遞函數
$$F(z)=\frac{{\sum }_{j=0}^R{b}_j{z}^{R?j}}{z^{R+1}?{\sum }_{j=0}^R(a_j+b_j)z^{R?j}}\text{\hspace{1em}(32)}$$

是中立 (neutrally) 穩定的，且它的奈氏圖 (Nyquist plot) 沒有對任何 $L$ 的非零特征值負倒數形成包圍。

Theorem 12.

如果 $F(z)$ 在定理 11 的意義下使 $L$ 穩定，那么在下述假設下：
$$p_{ss}=c(I?cE?(1?c)(I?c(G?E){)}^{?1}G)y$$

這里 $a={\sum }_{j=0}^R{a}_j$，$b={\sum }_{j=0}^R{b}_j$，$c=\frac{b}{1?a}$。

Theorem 13.

選擇 $H(z)$ 為
$$H(z)=\frac{1}{F(z)+1}\text{\hspace{1em}(41)}$$

并假設反饋連接 $P(z)$ 和 $K(z)$ 是適定的。那么當定理11中的 $F(z)$ 能穩定 $L$ 和 $K(z)$ 穩定 $P(z)$ 時，系統是相對穩定的。

Terminology 專業術語及解釋

1. aperiodic graph —> primitive

A directed graph is aperiodic if the greatest common divisor of the lengths of its cycles is one (there is no integer k>1 that divides the length of every cycle of the graph).
如果一個有向圖的圈的是長度的最大公約數是1，那么這個有向圖就是非周期的（不存在整數 k>1 可以除以圖的每個循環的長度）。

左邊的圖共有兩個cycles，上面的period=5，下面的period=6，因此最大公因數=1，是非周期圖 (aperiodic graph)；而右邊的圖，三個cycle的period=3，另一個period=6，因此最大公因數是3，就不是非周期圖 (aperiodic graph)

From: Fly~

2. k-periodic —> imprimitive, or cyclic of index k

3. multiplicity （根的）重數

4. Schur transformation 舒爾分解

詳見：【數理知識】第1章-矩陣的幾何理論-《矩陣論》方保镕

5. Stability margins 穩定裕度

詳見：P7 頻域分析法-《Matlab/Simulink與控制系統仿真》程序指令總結

6. Periodic

7. Periodicity

8. Symmetry

9. Perron disk

10. Aperiodicity

11. neutrally stable

12. Negative inverse 負倒數

13. offset

Proof 證明

Conclusions 亮點總結

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【Paper】2004_Information Flow and Cooperative Control of Vehicle Formations的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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