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矩陣微積分及其應(yīng)用

• • 5.1 向量序列和矩陣序列的極限
  • • 5.1.1 向量序列的極限
    • 5.1.2 矩陣序列的極限
  • 5.2 矩陣級數(shù)與矩陣函數(shù)
  • • 5.2.1 矩陣級數(shù)
    • 5.2.2 矩陣函數(shù)
  • 5.3 函數(shù)矩陣的微分和積分
  • • 5.3.1 函數(shù)矩陣對實(shí)變量的導(dǎo)數(shù)
    • • 定義 5.3.2 函數(shù)矩陣的導(dǎo)數(shù)定義
    • 5.3.2 函數(shù)矩陣特殊的導(dǎo)數(shù)
    • • 1. 數(shù)量函數(shù)對于向量的導(dǎo)數(shù)
      • 定義 5.3.3 數(shù)量函數(shù) f(x) 對 x 的導(dǎo)數(shù)
      • 例 5.3.4
      • 例 5.3.5
      • 定義 5.3.4 數(shù)量函數(shù) f(x) 對 A 的導(dǎo)數(shù)
      • 例 5.3.6
      • 2. 矩陣對于矩陣的導(dǎo)數(shù)
    • 5.3.3 矩陣的全微分
    • 5.3.4 函數(shù)矩陣的積分
  • 5.4 矩陣微分方程
  • • 5.4.1 常系數(shù)齊次線性微分方程組的解
    • • 定理 5.4.1
      • 定理 5.4.2
    • 5.4.2 常系數(shù)非齊次線性微分方程組的解
    • 5.4.3 n 階常系數(shù)微分方程的解

5.1 向量序列和矩陣序列的極限

5.1.1 向量序列的極限

5.1.2 矩陣序列的極限

5.2 矩陣級數(shù)與矩陣函數(shù)

5.2.1 矩陣級數(shù)

5.2.2 矩陣函數(shù)

5.3 函數(shù)矩陣的微分和積分

5.3.1 函數(shù)矩陣對實(shí)變量的導(dǎo)數(shù)

定義 5.3.2 函數(shù)矩陣的導(dǎo)數(shù)定義

設(shè) $A(t)=(a_{ij}(t){)}_{m\times n}$，若 $a_{ij}(t)(i=1,2,?,m;j=1,2,?,n)$ 在 $t=t_0$ 處（或[a, b]上）可導(dǎo)，則稱 $A(t)$ 在 $t=t_0$ 處（或[a, b]上）可導(dǎo)，記為
$$\begin{array}{rl}{A}^{\prime }(t_0)& =\frac{dA(t)}{dt}{|}_{t=t_0}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{A(t_0+\Delta t)?A(t_0)}{\Delta t}\\ & =?\begin{array}{cccc}{a}_{11}^{\prime }(t_0)& a_{12}^{\prime }(t_0)& \dots & a_{1n}^{\prime }(t_0)\\ a_{21}^{\prime }(t_0)& a_{22}^{\prime }(t_0)& \dots & a_{2n}^{\prime }(t_0)\\ ?& ?& ?& ?\\ a_{m1}^{\prime }(t_0)& a_{m2}^{\prime }(t_0)& \dots & a_{mn}^{\prime }(t_0)\end{array}?\end{array}$$

不難證明函數(shù)矩陣的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算有下列性質(zhì)：
（1）$A(t)$ 為常數(shù)矩陣的充要條件是 $A^{\prime }(t)=0$；
（2）設(shè) $A(t)=(a_{ij}(t){)}_{m\times n}$ 和 $B(t)=(b_{ij}(t){)}_{m\times n}$ 可導(dǎo)，則$$\frac{d}{d(t)}(A(t)\pm B(t))=A^{\prime }(t)\pm B^{\prime }(t)\text{\hspace{1em}(5.3.1)}$$

（3）若 $k(t)$ 是可導(dǎo)的實(shí)函數(shù)，$A(t)$ 可導(dǎo)，則
$$\frac{d}{d(t)}(k(t)A(t))=k^{\prime }(t)A(t)+k(t)A^{\prime }(t)\text{\hspace{1em}(5.3.2)}$$

（4）設(shè) $A(t)$ 和 $B(t)$ 都可導(dǎo)，則
$$\frac{d}{d(t)}(A(t)B(t))=A^{\prime }(t)B(t)+A(t)B^{\prime }(t)\text{\hspace{1em}(5.3.3)}$$

（5）若 $A(t)$ 與 $A^{?1}(t)$ 都有導(dǎo)數(shù)，則
$$\frac{d{A}^{?1}(t)}{dt}=?A^{?1}(t)A^{\prime }(t)A^{?1}(t)\text{\hspace{1em}(5.3.4)}$$

（6）設(shè)函數(shù)矩陣 $A(t)$ 是 $t$ 的函數(shù)，而 $t=f(x)$ 是 $x$ 的實(shí)值函數(shù)，且 $A(t)$ 與 $f(x)$ 均可導(dǎo)，則有
$$\frac{dA(t)}{dx}=\frac{dA(t)}{dt}{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\frac{dA(t)}{dt}\text{\hspace{1em}(5.3.5)}$$

補(bǔ)充性質(zhì)：不論 $A$ 是任何常量方陣，總有
（1）$$\frac{d}{dt}{e}^{At}=A{e}^{At}=e^{At}A\text{\hspace{1em}(5.3.6)}$$

此條性質(zhì)可聯(lián)想 $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ 記憶

（2）$$\frac{d}{dt}\cos At=?A(\sin At)=?(\sin At)A\text{\hspace{1em}(5.3.7)}$$

此條性質(zhì)可聯(lián)想 $(\cos x{)}^{\prime }=?\sin x$ 記憶

（3）$$\frac{d}{dt}\sin At=A(\cos At)=(\cos At)A\text{\hspace{1em}(5.3.8)}$$

此條性質(zhì)可聯(lián)想 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ 記憶

5.3.2 函數(shù)矩陣特殊的導(dǎo)數(shù)

1. 數(shù)量函數(shù)對于向量的導(dǎo)數(shù)

在場論中，我們對數(shù)量函數(shù) $f(x,y,z)$ 定義梯度為
$$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f=\Delta f=(\frac{?f}{?x},\frac{?f}{?y},\frac{?f}{?z})$$

這可以理解為數(shù)量函數(shù) $f(x,y,z)$ 對向量 $(x,y,z)$ 的導(dǎo)數(shù)。

定義 5.3.3 數(shù)量函數(shù) f(x) 對 x 的導(dǎo)數(shù)

設(shè) $x=(x_1,x_2,?,x_n{)}^T$，$f(x)=f(x_1,x_2,?,x_n)$ 是以向量 $x$ 為自變量的數(shù)量函數(shù)，即為 $n$ 元函數(shù)，則規(guī)定數(shù)量函數(shù) $f(x)$ 對于向量 $x$ 的導(dǎo)數(shù)為
$$\frac{df}{dx}=(\frac{?f}{?x_1},\frac{?f}{?x_2},?,\frac{?f}{?x_n}{)}^T\text{\hspace{1em}(5.3.10)}$$

例 5.3.4

數(shù)量函數(shù) $f(x)=x^{T}Ax$ 對于向量 $x$ 的導(dǎo)數(shù)為
$$\frac{df}{dt}=(A+A^T)x=Ax+A^{T}x\text{\hspace{1em}(5.3.11)}$$
其中， $A(t)=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 為常量矩陣，$x=(x_1,x_2,?,x_n)$。

有特例如下：
（1）當(dāng) $A$ 是實(shí)對稱矩陣時(shí)，二次型 $x^{T}Ax$ 對 $x$ 的導(dǎo)數(shù)為
$$\frac{d{x}^{T}Ax}{dx}=2Ax\text{\hspace{1em}(5.3.12)}$$

（2）當(dāng) $A=I$ 時(shí)，函數(shù) $f(x)=x_1^2+x_2^2+?+x_n^2$ 對 $x$ 的導(dǎo)數(shù)為
$$\frac{df(x)}{dx}=2x\text{\hspace{1em}(5.3.13)}$$

例 5.3.5

令 $x=({\xi }_1(t),{\xi }_2(t),?,{\xi }_n(t){)}^T$，$f(x)=({\xi }_1,?,{\xi }_n)$。則有
$$\frac{df}{dt}=(\frac{df}{df}{)}^T\frac{dx}{dt}\text{\hspace{1em}(5.3.14)}$$

定義 5.3.4 數(shù)量函數(shù) f(x) 對 A 的導(dǎo)數(shù)

設(shè) $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，$f(A)$ 為矩陣 $A$ 的數(shù)量函數(shù)，即看成是 $m\times n$ 元函數(shù)，則規(guī)定數(shù)量函數(shù) $f(A)$ 對于矩陣 $A$ 的導(dǎo)數(shù)為
$$\frac{df}{dA}=(\frac{?f}{?a_{ij}}{)}_{m\times n}=?\begin{array}{ccc}\frac{?f}{?a_{11}}& ?& \frac{?f}{?a_{1n}}\\ ?& ?& ?\\ \frac{?f}{?a_{n1}}& ?& \frac{?f}{?a_{nn}}\end{array}?\text{\hspace{1em}(5.3.15)}$$

例 5.3.6

二次型 $x^{T}Ax$ 對矩陣 $A$ 的導(dǎo)數(shù)，其中 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 是實(shí)對稱的，那么有
$$\frac{d}{dA}(x^{T}Ax)=(\frac{?f}{?a_{ij}}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j)=(x_i{x}_j{)}_{n\times n}=x{x}^T$$

2. 矩陣對于矩陣的導(dǎo)數(shù)

5.3.3 矩陣的全微分

5.3.4 函數(shù)矩陣的積分

5.4 矩陣微分方程

5.4.1 常系數(shù)齊次線性微分方程組的解

定理 5.4.1

一階線性常系數(shù)微分方程組的定解問題
$$?\begin{array}{rl}& \frac{dx}{dt}=Ax(t)\\ & x(0)=(x_1(0),x_2(0),?,x_n(0){)}^T\end{array}\text{\hspace{1em}(5.4.3)}$$

有唯一解 $$x=e^{At}x(0)$$

同理有
$$?\begin{array}{rl}& \frac{dx}{dt}=Ax(t)\\ & x{|}_{t=t_0}=x(t_0)\end{array}\text{\hspace{1em}(5.4.4)}$$

有唯一解 $$x=e^{A(t?t_0)}x(t_0)$$

定理 5.4.2

$$?\begin{array}{rl}& \frac{dX}{dt}=AX(t)\\ & X(t){|}_{t=t_0}=X(t_0)\end{array}\text{\hspace{1em}(5.4.5)}$$

若未知函數(shù) $X(t)$ 不是列向量，而是 $n\times m$ 矩陣，$X(t_0)$ 是 $n\times m$ 常數(shù)矩陣，$A$ 是給定的 $n$ 階常數(shù)方陣，則有唯一解為
$$X(t)=e^{A(t?t_0)}X(t_0)$$

且解 $X(t)$ 的秩與 $t$ 的取值無關(guān)。

5.4.2 常系數(shù)非齊次線性微分方程組的解

$$?\begin{array}{rl}& \frac{dx}{dt}=Ax(t)+f(t)\\ & x{|}_{t=t_0}=x(t_0)\end{array}\text{\hspace{1em}(5.4.6)}$$

有唯一解 $$x=e^{A(t?t_0)}x(t_0)+{\int }_{t_0}^t{e}^{A(t?\tau )}f(\tau )d\tau$$

5.4.3 n 階常系數(shù)微分方程的解

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第5章-矩阵微积分及其应用的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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