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第6章-廣義逆矩陣及其應用

• • 6.1 矩陣的集中廣義逆
  • • 6.1.1 廣義逆矩陣的基本概念
    • • 定義 6.1.1
    • 6.1.2 減號逆 $A^{?}$
    • 6.1.3 自反減號逆 $A_r^{?}$
    • 6.1.4 最小范數廣義逆 $A_m^{?}$
    • 6.1.5 最小二乘廣義逆 $A_l^{?}$
    • 6.1.6 加號逆 $A^{+}$
  • 6.2 廣義逆在解線性方程組中的應用
  • • 6.2.1 線性方程組求解問題的提法
    • 6.2.2 相容方程組的通解與 $A^{?}$
    • 6.2.3 相容方程組的極小范數解與 $A_m^{?}$
    • 6.2.4 矛盾方程組的最小二乘解與 $A_l^{?}$
    • 6.2.5 線性方程組的極小最小二乘解與 $A^{+}$

6.1 矩陣的集中廣義逆

6.1.1 廣義逆矩陣的基本概念

對任意復數矩陣 $A_{m\times n}$，如果存在復矩陣 $G_{n\times m}$ 滿足
$$AGA=A\text{\hspace{1em}(6.1.1)}$$$$GAG=G\text{\hspace{1em}(6.1.2)}$$$$(GA{)}^H=GA\text{\hspace{1em}(6.1.3)}$$$$(AG{)}^H=AG\text{\hspace{1em}(6.1.4)}$$

則稱 $G$ 為 $A$ 的一個穆爾-彭諾斯 (Moore-Penrose) 廣義逆，并把上面 4 個方程叫做穆爾-彭諾斯方程，簡稱 M-P 方程。

定義 6.1.1

設 $A\in {\mathbb{C}}^{m\times n}$，若有某個 $G\in {\mathbb{C}}^{m\times n}$，滿足 M-P 方程（6.1.1）～（6.1.4）中的全部或一部分，則稱 $G$ 為 $A$ 的廣義逆矩陣，簡稱為廣義逆。

（1）$A\{1\}$：其中任意一個確定的廣義逆，稱作減號逆，或 $g$ 逆，記為 $A^{?}$；
（2）$A\{1,2\}$：其中任意一個確定的廣義逆，稱作自反減號逆，記為 $A_r^{?}$；
（3）$A\{1,3\}$：其中任意一個確定的廣義逆，稱作最小范數廣義逆，記為 $A_m^{?}$；
（4）$A\{1,4\}$：其中任意一個確定的廣義逆，稱作最小二乘廣義逆，記為 $A_l^{?}$；
（5）$A\{1,2,3,4\}$：唯一的一個，稱作加號逆，或偽逆，或穆爾-彭諾斯逆，記為 $A^{+}$。

6.1.2 減號逆 $A^{?}$

6.1.3 自反減號逆 $A_r^{?}$

6.1.4 最小范數廣義逆 $A_m^{?}$

6.1.5 最小二乘廣義逆 $A_l^{?}$

6.1.6 加號逆 $A^{+}$

6.2 廣義逆在解線性方程組中的應用

6.2.1 線性方程組求解問題的提法

6.2.2 相容方程組的通解與 $A^{?}$

6.2.3 相容方程組的極小范數解與 $A_m^{?}$

6.2.4 矛盾方程組的最小二乘解與 $A_l^{?}$

6.2.5 線性方程組的極小最小二乘解與 $A^{+}$

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第6章-广义逆矩阵及其应用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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