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第1章-引論-《隨機過程》方兆本

• 第1章-引論
• • 1.1 引言
  • • 1.1.1 基本概念和例子
    • • • 定義1.1
    • 1.1.2 有限維分布和數字特征
    • 1.1.3 平穩過程和獨立增量過程
    • • • 定義1.2 嚴格平穩
        • 定義1.3 寬平穩或二階矩平穩
        • 定義1.4 獨立增量過程 / 平穩獨立增量過程
  • 1.2 條件期望和矩母函數
  • • 1.2.1 條件期望
    • 1.2.2 矩母函數及生成函數
    • • • 定義1.5 矩母函數
        • 定義1.6 概率生成函數
  • 1.3 收斂性
  • • • • 定義1.7 依概率收斂 / 幾乎必然收斂
        • 定義1.8 均方收斂

第1章-引論

1.1 引言

1.1.1 基本概念和例子

定義1.1

1.1.2 有限維分布和數字特征

1.1.3 平穩過程和獨立增量過程

定義1.2 嚴格平穩

如果隨機過程 $X(t)$ 對任意的 $t_1,?,t_n\in T$ 和任何 $h$ 有
$$(X(t_1+h),?,X(t_n+h))\stackrel{d}{=}(X(t_1),?,X(t_n)),\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

則稱為嚴格平穩的。

定義1.3 寬平穩或二階矩平穩

如果隨機過程的所有二階矩存在并有 $EX(t)=m$ 及協方差函數 $R_X(t,s)$ 只與時間差 $t?s$ 有關，則稱為寬平穩的或二階矩平穩的。

二階矩
數學上，“矩”是一組點組成的模型的特定的數量測度。
在力學和統計學中都有用到“矩”。
如果這些點代表“質量”，那么：
零階矩表示所有點的 質量；一階矩表示 質心；二階矩表示 轉動慣量。
如果這些點代表“概率密度”，那么：
零階矩表示這些點的 總概率（也就是1）；一階矩表示 期望；二階（中心）矩表示 方差；三階（中心）矩表示 偏斜度；四階（中心）矩表示 峰度；
這個數學上的概念和物理上的“矩”的概念關系密切。

定義1.4 獨立增量過程 / 平穩獨立增量過程

1.2 條件期望和矩母函數

1.2.1 條件期望

1.2.2 矩母函數及生成函數

定義1.5 矩母函數

隨機變量 $X$ 的矩母函數定義為隨機變量 $\exp \{tX\}$ 的期望，記作 $g(t)$，即
$$g(t)=E(\exp \{tX\})=\int \exp \{tX\}dF(x)\text{\hspace{1em}(1.17)}$$

對相互獨立的隨機變量 $X$ 和 $Y$，它們和的矩母函數就等于其矩母函數的積：
$$g_{X+Y}(t)=g_X(t)?g_Y(t)\text{\hspace{1em}(1.19)}$$

定義1.6 概率生成函數

1.3 收斂性

定義1.7 依概率收斂 / 幾乎必然收斂

定義1.8 均方收斂

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】《随机过程》方兆本老师-第1章-引论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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