【数理知识】辛矩阵 symplectic
文章目錄
- 介紹
- 辛矩陣的性質(zhì)
介紹
在數(shù)學(xué)中,辛矩陣是指一個(gè) 2n×2n2n\times 2n2n×2n 的矩陣 MMM(通常布于實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)域上),使之滿足
MTΩM=ΩM^TΩM=ΩMTΩM=Ω
其中 MTΩMM^{T}\Omega MMTΩM 表 MMM 的轉(zhuǎn)置矩陣,而 Ω\OmegaΩ 是一個(gè)固定的可逆斜對(duì)稱矩陣;這類矩陣在適當(dāng)?shù)淖兓蠼阅鼙頌?br /> Ω=[0In?In0]\Omega= \left[\begin{matrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{matrix}\right]Ω=[0?In??In?0?]
或
Ω=[01?10?01?10]\Omega= \left[\begin{matrix} 0 & 1 & & & \\ -1 & 0 & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & 0 & 1 \\ & & & -1 & 0 \\ \end{matrix}\right]Ω=???????0?1?10???0?1?10????????
兩者的差異僅在于基的排列,其中 InI_nIn? 是 n×nn\times nn×n 單位矩陣。此外,Ω\OmegaΩ 行列式值等于 111,且其逆矩陣等于 ?Ω-\Omega?Ω。
辛矩陣的性質(zhì)
凡辛矩陣皆可逆,其逆矩陣可表示為
M?1=Ω?1MTΩM^{-1} = \Omega^{-1} M^T \OmegaM?1=Ω?1MTΩ
因此,辛矩陣具有如下運(yùn)算性質(zhì):
ΩT=?Ω=Ω?1,\Omega^T = -\Omega = \Omega^{-1},ΩT=?Ω=Ω?1,ΩTΩ=ΩΩT=I2n,\Omega^T \Omega = \Omega\Omega^T = I_{2n},ΩTΩ=ΩΩT=I2n?,ΩΩ=?I2n,\Omega\Omega = -I_{2n},ΩΩ=?I2n?,det?(Ω)=1.\det(\Omega) = 1.det(Ω)=1.
此外,辛矩陣構(gòu)成的集合在矩陣乘法下封閉,因此一個(gè)域 FFF 上所有 2n2n2n 階辛矩陣構(gòu)成一個(gè)群,記為 Sp(2n,F)Sp(2n,F)Sp(2n,F)。事實(shí)上它是 GL(2n,F)GL(2n,F)GL(2n,F) 的閉代數(shù)子群,其維度為 n(2n+1)n(2n+1)n(2n+1)。當(dāng) F=R,CF=\R,\mathbb{C}F=R,C 時(shí),Sp(2n,F)Sp(2n,F)Sp(2n,F) 帶有自然的(復(fù))李群結(jié)構(gòu)。
Ref: 辛矩陣-極客教程
Ref: MP86:辛(symplectic)的起源(1):三角函數(shù)的線性性與Hermite內(nèi)積
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】辛矩阵 symplectic的全部?jī)?nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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