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• 介紹
• 辛矩陣的性質(zhì)

介紹

在數(shù)學(xué)中，辛矩陣是指一個(gè) $2n\times 2n$ 的矩陣 $M$（通常布于實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)域上），使之滿足
$$M^T\Omega M=\Omega$$

其中 $M^T\Omega M$ 表 $M$ 的轉(zhuǎn)置矩陣，而 $\Omega$ 是一個(gè)固定的可逆斜對(duì)稱矩陣；這類矩陣在適當(dāng)?shù)淖兓蠼阅鼙頌?br /> $$\Omega =\left[\begin{array}{cc}0& I_n\\ ?I_n& 0\end{array}\right]$$

或
$$\Omega =?\begin{array}{ccccc}0& 1& & & \\ ?1& 0& & & \\ & & ?& & \\ & & & 0& 1\\ & & & ?1& 0\end{array}?$$

兩者的差異僅在于基的排列，其中 $I_n$ 是 $n\times n$ 單位矩陣。此外，$\Omega$ 行列式值等于 $1$，且其逆矩陣等于 $?\Omega$。

辛矩陣的性質(zhì)

凡辛矩陣皆可逆，其逆矩陣可表示為
$$M^{?1}={\Omega }^{?1}{M}^T\Omega$$

因此，辛矩陣具有如下運(yùn)算性質(zhì)：
$${\Omega }^T=?\Omega ={\Omega }^{?1},$$$${\Omega }^T\Omega =\Omega {\Omega }^T=I_{2n},$$$$\Omega \Omega =?I_{2n},$$$$\det (\Omega )=1.$$

此外，辛矩陣構(gòu)成的集合在矩陣乘法下封閉，因此一個(gè)域 $F$ 上所有 $2n$ 階辛矩陣構(gòu)成一個(gè)群，記為 $Sp(2n,F)$。事實(shí)上它是 $GL(2n,F)$ 的閉代數(shù)子群，其維度為 $n(2n+1)$。當(dāng) $F=\mathbb{R},\mathbb{C}$ 時(shí)，$Sp(2n,F)$ 帶有自然的（復(fù)）李群結(jié)構(gòu)。

Ref: 辛矩陣-極客教程
Ref: MP86：辛(symplectic)的起源(1)：三角函數(shù)的線性性與Hermite內(nèi)積

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】辛矩阵 symplectic的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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