文章目錄

• 介紹
• 辛矩陣的性質

介紹

在數學中，辛矩陣是指一個 $2n\times 2n$ 的矩陣 $M$（通常布于實數或復數域上），使之滿足
$$M^T\Omega M=\Omega$$

其中 $M^T\Omega M$ 表 $M$ 的轉置矩陣，而 $\Omega$ 是一個固定的可逆斜對稱矩陣；這類矩陣在適當的變化后皆能表為
$$\Omega =\left[\begin{array}{cc}0& I_n\\ ?I_n& 0\end{array}\right]$$

或
$$\Omega =?\begin{array}{ccccc}0& 1& & & \\ ?1& 0& & & \\ & & ?& & \\ & & & 0& 1\\ & & & ?1& 0\end{array}?$$

兩者的差異僅在于基的排列，其中 $I_n$ 是 $n\times n$ 單位矩陣。此外，$\Omega$ 行列式值等于 $1$，且其逆矩陣等于 $?\Omega$。

辛矩陣的性質

凡辛矩陣皆可逆，其逆矩陣可表示為
$$M^{?1}={\Omega }^{?1}{M}^T\Omega$$

因此，辛矩陣具有如下運算性質：
$${\Omega }^T=?\Omega ={\Omega }^{?1},$$$${\Omega }^T\Omega =\Omega {\Omega }^T=I_{2n},$$$$\Omega \Omega =?I_{2n},$$$$\det (\Omega )=1.$$

此外，辛矩陣構成的集合在矩陣乘法下封閉，因此一個域 $F$ 上所有 $2n$ 階辛矩陣構成一個群，記為 $Sp(2n,F)$。事實上它是 $GL(2n,F)$ 的閉代數子群，其維度為 $n(2n+1)$。當 $F=\mathbb{R},\mathbb{C}$ 時，$Sp(2n,F)$ 帶有自然的（復）李群結構。

Ref: 辛矩陣-極客教程
Ref: MP86：辛(symplectic)的起源(1)：三角函數的線性性與Hermite內積

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】辛矩阵 symplectic的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。