介紹

若 $A_0,A_1,?,A_l$ 為 $l$ 個 $n\times n$ 復矩陣，$l\ge 0,A_l=0$(0表示零矩陣)，則 $l$ 次矩陣束 (Matrix Pencil) 是定義在復數域上的矩陣值函數
$$L(\lambda )=\sum _{i=0}^l{\lambda }^i{A}_i$$

特別的，線性束為
$$A?\lambda B,\lambda \in \mathbb{C}(or\mathbb{R}),$$

其中 $A,B$ 為復(或實)矩陣，簡記為$(A,B)$。

一個束稱為是正則 (regular) 的，如果至少存在一個 $\lambda$，使得
$$\det (A?\lambda B)=0$$

矩陣束 $(A,B)$ 的特征值為使 $\det (A?\lambda B)=0$ 的所有復數 $\lambda$。

特征值的集合稱為束的譜 (spectum)，記為 $\sigma (A,B)$。

另外，鉛筆在無窮遠處有一個或多個特征值如果 $B$ 有一個或多個 0 特征值。

應用

矩陣束在數值線性代數 (numerical linear algebra) 中起著重要的作用。求一個鉛筆的特征值問題稱為推廣的特征值問題 (generalized eigenvalue problem)。解決此問題的最流行的方法是QZ算法 (QZ algorithm), 它是使用QR算法 (QR algorithm)求解 $B^{(?1)}Ax=\lambda x$ 的隱格式, 即不顯式的形成矩陣 $B^{(?1)}A$ (當 $B$ 奇異或近似奇異時, 無法轉換或是一個病態問題)

由可換矩陣生成的束

若 $AB=BA$，則由 $A$ 和 $B$ 生成的束 $(A,B)$, 必為下列三者之一(Marcus & Minc (1969), A survey of matrix theory and matrix inequalities, Courier Dover Publications)

$(A,B)$ 中的矩陣均相似于對角矩陣

$(A,B)$ 中的矩陣均不相似于對角矩陣

$(A,B)$ 中只有一個矩陣相似于一個對角矩陣

Ref: Matrix Pencil 矩陣束-新浪博客

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】矩阵束 Matrix Pencil的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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