詳細(xì)版請(qǐng)參考：【Paper】2009_Controllability of Multi-Agent Systems from a Graph-Theoretic Perspective

文章目錄

• 5. Controllability analysis of single-leader networks
• • • • Proposition 5.1
      • Corollary 5.2
      • Proposition 5.3
      • Proposition 5.4
      • Proposition 5.5
  • 5.1 Controllability and graph symmetry
  • • • Definition 5.6
      • Definition 5.7
      • Proposition 5.8
      • Proposition 5.9
  • 5.2 Leader symmetry and graph automorphism
  • 5.3 Controllability of special graphs

$x_f\to x$
$x_l\to u$
$?{\mathcal{L}}_f\to A$
$?l_{fl}\to B$

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\text{\hspace{1em}(17)}$$

5. Controllability analysis of single-leader networks

Proposition 5.1

考慮一個(gè) leader-follower 網(wǎng)絡(luò)（17）。這個(gè)系統(tǒng)是可控的 iff 不是所有 $A$ 的特征向量都同時(shí)正交于 $B$ 的所有列。此外，如果 $A$ 沒(méi)有不同的特征值，那么（17）也是不可控的。

如果 $A$ 完全正交于 $B$ 的所有列，那么系統(tǒng)微分方程組是線性相關(guān)的，從數(shù)學(xué)微分方程角度無(wú)法求得唯一解，那么也就是不可控的。

Corollary 5.2

系統(tǒng)（17）只有一個(gè) leader 時(shí)，系統(tǒng)可控等價(jià)于 $A$ 特征向量不正交于 $1$ 向量。

Proposition 5.3

如果系統(tǒng)（17）是不可控的，那么存在一個(gè) $A$ 的特征向量 $v$ 滿足 ${\sum }_{i～n}v(i)=0$。

Proposition 5.4

假設(shè)系統(tǒng)（17）是不可控的。那么存在一個(gè) $\mathcal{L}(\mathcal{G})$ 的特征向量，這個(gè)特征向量有一個(gè) 0 分量，且是關(guān)于 leader 的索引。

Proposition 5.5

假設(shè)所有 $\mathcal{L}(\mathcal{G})$ 的特征向量都沒(méi)有 0 分量。那么系統(tǒng)（7）無(wú)論選擇哪一個(gè) leader 都是可控的。

5.1 Controllability and graph symmetry

Definition 5.6

定義一個(gè)置換矩陣，在每一行和列有一個(gè)非零元素。

Definition 5.7

系統(tǒng)（17）是錨對(duì)稱的

Proposition 5.8

如果系統(tǒng)（17）是 leader 對(duì)稱的，那么不可控。

命題5.8表明了 leader 對(duì)稱是系統(tǒng)不可控的一個(gè)充分條件。這對(duì)研究 leader 不對(duì)稱是否會(huì)產(chǎn)生一個(gè)可控系統(tǒng)具有指導(dǎo)意義。

Proposition 5.9

leader 對(duì)稱不是一個(gè)系統(tǒng)不可控的充分條件。也就是說(shuō)，系統(tǒng)不可控，并不一定表明系統(tǒng)是 leader 對(duì)稱的。

5.2 Leader symmetry and graph automorphism

Definition 5.10
Proposition 5.11

5.3 Controllability of special graphs

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【Paper】2009_Controllability of Multi-Agent Systems from a Graph-Theoretic Perspective 精炼版的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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