Liu, Z., Yuan, C., Zhang, Y. et al. A Learning-Based Fault Tolerant Tracking Control of an Unmanned Quadrotor Helicopter. J Intell Robot Syst 84, 145–162 (2016).

文章目錄

• 1 Introduction
• 2 Description and Dynamics of the Unmanned Quadrotor Helicopter
• • 2.1 Nonlinear Model of the Unmanned Quadrotor Helicopter
  • 2.2 Linearized Model of the Unmanned Quadrotor Helicopter
  • • • • Assumption 1

1 Introduction

2 Description and Dynamics of the Unmanned Quadrotor Helicopter

如圖 1 所示，推力($u_1,u_2,u_3,u_4$)是由四個分別配置在前角、后角、左角和右角的獨立電機驅動的螺旋槳產生的。前后電機順時針旋轉，左右電機逆時針旋轉。所產生的推力在 $z_B$ 方向上總是向上的。

因此，1）直接將相同數量的控制信號分配給每臺電機即可實現垂直平移； 2）水平平移要求四旋翼直升機提前滾動或俯仰，這樣就可以產生向前或橫向運動。此外，橫滾和俯仰旋轉可以通過分配不同數量的控制信號到相反的馬達，這可以迫使四旋翼直升機向最慢的馬達傾斜 [1]。

2.1 Nonlinear Model of the Unmanned Quadrotor Helicopter

利用 [28] 和 [29] 中的四旋翼直升機模型，常用的四旋翼直升機在地球固定坐標系下的動力學模型可有:
$$?\begin{array}{rl}\ddot{x}& =\frac{(\cos ?\sin \theta \cos \psi +\sin ?\sin \psi )u_1(t)?K_1\dot{x}}{m}\\ \ddot{y}& =\frac{(\cos ?\sin \theta \sin \psi ?\sin ?\cos \psi )u_1(t)?K_2\dot{y}}{m}\\ \ddot{z}& =\frac{(\cos ?\cos \theta )u_z(t)?K_3\dot{z}}{m}?g\\ \ddot{?}& =\frac{u_3(t)?K_4\dot{?}}{I_x}\\ \ddot{\theta }& =\frac{u_2(t)?K_5\dot{\theta }}{I_y}\\ \ddot{\psi }& =\frac{u_4(t)?K_6\dot{\psi }}{I_z}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

加速度與升力/力矩的關系表示為:
$$\begin{array}{rl}?\begin{array}{c}{u}_z(t)\\ u_{\theta }(t)\\ u_{?}(t)\\ u_{\psi }(t)\end{array}?& =?\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ L& ?L& 0& 0\\ 0& 0& L& ?L\\ C& C& ?C& ?C\end{array}??\begin{array}{c}{u}_{c1}(t)\\ u_{c2}(t)\\ u_{c3}(t)\\ u_{c4}(t)\end{array}?\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

每個電機由其相應的脈寬調制(PWM)信號控制，其關系定義為:
$$u_i(t)=K_m\frac{{\omega }_m}{s+{\omega }_m}{u}_{ci}(t)\text{\hspace{1em}(3)}$$

2.2 Linearized Model of the Unmanned Quadrotor Helicopter

Assumption 1

假設四旋翼無人直升機在操作期間處于懸停狀態 [20]，這表明在豎直方向 $u_z\approx mg$。俯仰角和滾轉角的變化幅度也比較小，有 $\sin ?\approx ?,\sin \theta \approx \theta$，并且沒有航向角變化 $\psi \approx 0$。另外，當無人機移動速度非常慢時，阻力系數是微不足道的。

那么根據上述假設 1，可以簡化公式（1）變為

$$\begin{array}{r}?\begin{array}{rl}& \ddot{x}=\theta g\\ & \ddot{y}=??g\\ & \ddot{z}=u_z(t)/m?g\\ & I_x\ddot{\theta }=u_{\theta }(t)\\ & I_y\ddot{?}=u_{?}(t)\\ & I_z\ddot{\psi }=u_{\psi }(t)\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

進一步，當把無人機和它的執行器作為一個整體時，在控制系統設計過程中可以忽略執行器動力學，且不會造成顯著的殘差，這是由于執行器的時間常數比無人機小得多 [30]。

那么公式（3）就可以簡化為 $K_m\frac{{\omega }_m}{s+{\omega }_m}\approx K_m$，這仍然可以用來描述控制行為的有效性。因此，公式（2）可以寫為
$$\begin{array}{rl}?\begin{array}{c}{u}_z(t)\\ u_{\theta }(t)\\ u_{?}(t)\\ u_{\psi }(t)\end{array}?& =?\begin{array}{cccc}{K}_m& K_m& K_m& K_m\\ K_{m}L& ?K_{m}L& 0& 0\\ 0& 0& K_{m}L& ?K_{m}L\\ K_{m}C& K_{m}C& ?K_{m}C& ?K_{m}C\end{array}??\begin{array}{c}{u}_{c1}(t)\\ u_{c2}(t)\\ u_{c3}(t)\\ u_{c4}(t)\end{array}?\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

這里將歐拉角加速度映射到了螺旋槳轉速上。

總結

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