Lai L C, Yang C C, Wu C J. Time-optimal control of a hovering quad-rotor helicopter[J]. Journal of Intelligent and Robotic Systems, 2006, 45(2): 115-135.

文章目錄

• 1. Introduction
• 2. Dynamical Equations of a Quad-Rotor Helicopter

1. Introduction

2. Dynamical Equations of a Quad-Rotor Helicopter

為了說明直升機的運動，如圖 1 所示給出了一個示意圖。在直升機的工作空間內，定義世界坐標系和機體坐標系。世界坐標系表示一個所有討論都可以參考的坐標系，而機體坐標系是一個附加到直升機上的坐標系。為了保持四旋翼直升機的懸停飛行，將四個驅動力 $F_i,i=1,2,3,4$ 的大小分別調整為最初直升機重量的四分之一。通過同時改變四個轉子的轉速，可以實現機體沿 $z$ 軸的垂直運動。通過反向改變1號和3號轉子的轉速，保持2號和4號轉子的轉速，可以實現機體沿 $x$ 軸方向的向前運動。反向改變2號和4號轉子的速度，保持1號和3號轉子的速度，可實現機體沿 $y$ 軸的橫向運動。偏航運動與轉子產生的力矩之間的差異有關。為順時針旋轉，轉子2和4應提高速度，以克服轉子1和3的速度。另一方面，若要逆時針旋轉，轉子3和1應提高轉速，以克服轉子2和4的轉速。表1總結了本文使用的符號命名。

根據歐拉角可以得到世界坐標系與機體坐標系之間的旋轉變換矩陣。

$$R_{EB}=?\begin{array}{ccc}\cos \theta \cos \psi & \sin \theta \cos \psi \sin ??\sin \psi \cos ?& \sin \theta \cos \psi \cos ?+\sin \psi \sin ?\\ \cos \theta \sin \psi & \sin \theta \sin \psi \sin ??\cos \psi \cos ?& \sin \theta \sin \psi \cos ??\cos \psi \sin ?\\ ?\sin \theta & \cos \theta \sin ?& \cos \theta \cos ?\end{array}?\text{\hspace{1em}(1)}$$

原文中是上式，應該有個符號錯誤（紅色處），正確的應該如下
$$R_{EB}=?\begin{array}{ccc}\cos \theta \cos \psi & \sin \theta \cos \psi \sin ??\sin \psi \cos ?& \sin \theta \cos \psi \cos ?+\sin \psi \sin ?\\ \cos \theta \sin \psi & \sin \theta \sin \psi \sin ?+\cos \psi \cos ?& \sin \theta \sin \psi \cos ??\cos \psi \sin ?\\ ?\sin \theta & \cos \theta \sin ?& \cos \theta \cos ?\end{array}?\text{\hspace{1em}(1)}$$

然后得到機體坐標系與世界坐標系之間的速度變換
$$?\begin{array}{c}u\\ v\\ w\end{array}?=R_{EB}?\begin{array}{c}{u}_B\\ v_B\\ w_B\end{array}?\text{\hspace{1em}(2)}$$

類似地，加速度、旋轉速度、位置、力和力矩都可以基于 $R_{EB}$ 在坐標系之間轉換。

在機體坐標系中，力被定義為
$$F_B=?\begin{array}{c}{F}_{xB}\\ F_{yB}\\ F_{zB}\end{array}?=?\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\sum }_{k=1}^4{F}_k\end{array}?\text{\hspace{1em}(3)}$$

在世界坐標系中，力可以描述為
$$\begin{array}{r}?\begin{array}{c}{F}_x\\ F_y\\ F_z\end{array}?=R_{EB}?F_B=(\sum _{k=1}^4{F}_k)?\begin{array}{c}\sin \theta \cos \psi \cos ?+\sin \psi \sin ?\\ \sin \theta \sin \psi \cos ??\cos \psi \sin ?\\ \cos \theta \cos ?\end{array}?\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

因此，UAV在世界坐標系中的移動方程為
$$m?\begin{array}{c}\ddot{x}\\ \ddot{y}\\ \ddot{z}\end{array}?=?\begin{array}{c}{F}_x?K_1?\dot{x}\\ F_y?K_2?\dot{y}\\ F_z?mg?K_3?\dot{z}\end{array}?\text{\hspace{1em}(5)}$$

這里 $K_i,i=1,2,3$ 是阻力系數。注意，這些系數在低速時可以忽略不計。

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因此，可以根據力和力矩的平衡推導出運動方程。

$$\ddot{?}=\frac{l(F_3?F_1?K_4\dot{?})}{I_x}\text{\hspace{1em}(6)}$$

$$\ddot{\theta }=\frac{l(F_4?F_2?K_5\dot{\theta })}{I_y}\text{\hspace{1em}(7)}$$

$$\ddot{\psi }=\frac{(M_1?M_2+M_3?M_4?K_6\dot{\psi })}{I_z}\text{\hspace{1em}(8)}$$

這里 $l$ 無人機重心到各旋翼的長度，$M_i,i=1,2,3,4$ 是旋翼的力矩，$I_x,I_y,I_z$ 表示 $x,y,z$ 方向的慣性矩。用 $F_1,F_2,F_3,F_4$ 來表示，（8）可以改寫成

$$\ddot{\psi }=\frac{(F_1?F_2+F_3?F_4?K_6^{{}^{\prime }}\dot{\psi })}{I_z^{{}^{\prime }}}\text{\hspace{1em}(9)}$$

這里 $I_z^{{}^{\prime }}=I_z/C,K_6^{{}^{\prime }}=K_6/C$，$C$ 是一個縮放因子。

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為方便計算 TOMP 問題，將輸入定義為
$$\begin{array}{rl}{u}_1=& F_1+F_2+F_3+F_4\\ u_2=& ?F_2+F_4\\ u_3=& ?F_1+F_3\\ u_4=& F_1?F_2+F_3?F_4\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$

輸入可以表示成矩陣的形式
$$?\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\\ u_4\end{array}?=?\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& ?1& 0& 1\\ ?1& 0& 1& 0\\ 1& ?1& 1& ?1\end{array}??\begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\\ F_3\\ F_4\end{array}?\text{\hspace{1em}(11)}$$

那么單個的力將是
$$?\begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\\ F_3\\ F_4\end{array}?=\frac{1}{4}?\begin{array}{cccc}1& 0& ?2& 1\\ 1& ?2& 0& ?1\\ 1& 0& 2& 1\\ 1& 2& 0& ?1\end{array}??\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\\ u_4\end{array}?\text{\hspace{1em}(12)}$$

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因此，得到了四旋翼直升機的動力學方程

$$\ddot{x}=\frac{(\sin \psi \sin ?+\cos \psi \sin \theta \cos ?)u_1?K_1\dot{x}}{m}\text{\hspace{1em}(13)}$$

$$\ddot{y}=\frac{(\sin \psi \sin \theta \cos ??\cos \psi \sin ?)u_1?K_2\dot{y}}{m}\text{\hspace{1em}(14)}$$

$$\ddot{z}=\frac{(\cos ?\cos \theta )u_1?K_3\dot{z}}{m}?g\text{\hspace{1em}(15)}$$

$$\ddot{?}=\frac{(u_3?K_4\dot{?})l}{I_x}\text{\hspace{1em}(16)}$$

$$\ddot{\theta }=\frac{(u_2?K_5\dot{\theta })l}{I_y}\text{\hspace{1em}(17)}$$

$$\ddot{\psi }=\frac{(u_4?K_6^{{}^{\prime }}\dot{\psi })}{I_z^{{}^{\prime }}}\text{\hspace{1em}(18)}$$

對于懸停飛行，速度和橫搖角、俯仰角和偏航角必須為零，且四個驅動力為 $F_1(0)=F_2(0)=F_3(0)=F_4(0)=\frac{mg}{4}$。將這些條件代入式（13）至式（18），可以發現將產生零加速度。

上一句話進一步驗證了公式推導的是正確的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【Paper】2006_Time-Optimal Control of a Hovering Quad-Rotor Helicopter的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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