Abdolhosseini M, Zhang Y M, Rabbath C A. An efficient model predictive control scheme for an unmanned quadrotor helicopter[J]. Journal of intelligent & robotic systems, 2013, 70(1-4): 27-38.

文章目錄

• 1 Introduction
• 2 An Efficient Model Predictive Control Formulation
• 3 Dynamical Equations of Quadrotor Helicopter
• • 3.1 Nonlinear Model of a Quadrotor Helicopter
  • 3.2 Model Reduction to Minimize Computational Demands
  • 3.3 Validation of the Simplified Decoupled Model vs. the Elaborate Coupled Model

1 Introduction

2 An Efficient Model Predictive Control Formulation

3 Dynamical Equations of Quadrotor Helicopter

3.1 Nonlinear Model of a Quadrotor Helicopter

基于力和力矩的平衡，詳見 [12]，四旋翼直升機在地面固定坐標系下的運動控制動力學方程可表示為:

$$\ddot{x}=\frac{(\sin \psi \sin ?+\cos \psi \sin \theta \cos ?)u_1?K_1\dot{x}}{m}\text{\hspace{1em}(21)}$$

$$\ddot{y}=\frac{(\sin \psi \sin \theta \cos ??\cos \psi \sin ?)u_1?K_2\dot{y}}{m}\text{\hspace{1em}(22)}$$

$$\ddot{z}=\frac{(\cos ?\cos \theta )u_1?K_3\dot{z}}{m}?g\text{\hspace{1em}(23)}$$

$$\ddot{?}=\frac{(u_{3}l?K_4\dot{?})}{I_x}\text{\hspace{1em}(24)}$$

$$\ddot{\theta }=\frac{(u_{2}l?K_5\dot{\theta })}{I_y}\text{\hspace{1em}(25)}$$

$$\ddot{\psi }=\frac{(u_{4}c?K_6\dot{\psi })}{I_z}\text{\hspace{1em}(26)}$$

其中 $K_i,i=1,2,?,6$ 為與空氣阻力相關的阻力系數(shù)，$l$ 為四旋翼重心到每個螺旋槳中心的距離，$c$ 為推力-力矩比例系數(shù)。注意，低速時阻力系數(shù)可以忽略不計。同樣，$I_x,I_y,I_z$ 表示沿 $x,y,z$ 方向的轉(zhuǎn)動慣量。為計算方便，系統(tǒng)的輸入 $u_i,i=1,2,3,4$ 定義為:
$$?\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\\ u_4\end{array}?=?\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& ?1& 0& 1\\ ?1& 0& 1& 0\\ 1& ?1& 1& ?1\end{array}??\begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\\ F_3\\ F_4\end{array}?\text{\hspace{1em}(27)}$$

四旋翼直升機的驅(qū)動器是無刷直流電機。施加的PWM輸入與產(chǎn)生的推力之間的關系為:
$$F_i=K_{motor}\frac{{\omega }_{motor}}{s+{\omega }_{motor}}{u}_{PWM}\text{\hspace{1em}(28)}$$

其中 $K_{motor}$ 為正增益，${\omega }_{motor}$ 為執(zhí)行器帶寬。表1包含四旋翼直升機系統(tǒng)參數(shù)的標稱值。

3.2 Model Reduction to Minimize Computational Demands

如前所述，由于快速動態(tài)系統(tǒng)需要相對較高的更新速率，預測控制在航空應用中的成功高度依賴于機載計算機的實時計算能力。由于在幾乎所有此類應用中，可用的機載計算能力都是有限的，部分原因是由于重量的考慮，因此，任何減輕計算負擔的努力都是至關重要的，以使MPC應用于航空系統(tǒng)，特別是無人駕駛汽車的可行性。

為此，本文嘗試解耦四旋翼的六自由度運動控制動力學方程，使系統(tǒng)由四個二階微分方程來描述，其中平動縱向位移 $x$ 與旋轉(zhuǎn)俯仰運動 $\theta$ 耦合，將平移橫向位移 $y$ 與旋轉(zhuǎn)滾動運動 $\phi$ 耦合，將沿法向軸 $z$ 方向的平移垂直位移分別處理，且與其他兩個位移無關。也就是說：
$$\ddot{x}=\frac{u_1\sin \theta }{m};\ddot{y}=\frac{u_1\sin ?}{m};\ddot{z}=\frac{u_1}{m}?g\text{\hspace{1em}(29)}$$

$$\ddot{?}=\frac{u_{3}l}{I_x};\ddot{\theta }=\frac{u_{2}l}{I_y};\ddot{\psi }=\frac{u_{4}c}{I_z}\text{\hspace{1em}(30)}$$

這樣，在迭代計算中涉及到的系統(tǒng)矩陣的維數(shù)，以及在一個時間步長進行了幾分之一秒的優(yōu)化，將減少三分之一或更少；否則，直接考慮四旋翼直升機對應的六自由度運動包括14個數(shù)量級的矩陣(每個自由度對應兩個矩陣加上直流電機的矩陣)。這種對運動模式的單獨處理極大地影響了板載計算的執(zhí)行時間。此外，關于偏航運動 $\psi$，假設始終保持零偏航角；這可以通過集成一個獨立的反作用輪機制，而不是四個直流電機接管控制偏航運動。

有了這個新的方程子集，$\sin \theta ,\sin ?,\frac{u_1}{m}g$ 將被作為它們相應方程（29）的操縱變量或輸入。也就是說，$u_1$ 是根據(jù)（29）中穩(wěn)定水平飛行所需的第三個方程進行初步計算的。然后將該值代入（29）的第一和第二方程中，作為常數(shù)(在預測范圍內(nèi))，保留 $\sin \theta$ 和 $\sin ?$ 作為唯一的操縱變量。然后，用適當?shù)碾x散時間步長對新版本的方程進行離散化，保持四旋翼系統(tǒng)的動力學特性。這一速率可能因等式的不同而不同，這取決于系統(tǒng)沿該軸的靈活程度。

3.3 Validation of the Simplified Decoupled Model vs. the Elaborate Coupled Model

總結

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