3. 表示性質

3.1 Levy過程冪的表示

目標：將Levy過程的冪$(X_{t+t_0}?X_{t_0}{)}^k,t_0,t\ge 0,k=1,2,3,...$寫成關于正交過程$H^{(j)},j=1,...,k$隨機積分之和。

第一步：將Levy過程的冪$(X_{t+t_0}?X_{t_0}{)}^k,t_0,t\ge 0,k=1,2,3,...$寫成關于Teugels martingale過程$Y^{(j)},j=1,...,k$隨機積分之和。

對于$k=1$，有

對于$k\ge 2$，有下式，其中第一步利用半鞅的Ito引理（Protter,2005,P82），




證明：在（2）的第一項中引入X的補償過程Y，得到

結合（2）和（4）可得

用Y替代X推導下去（參見以下示例），可得表達式（3）。||||

作為示例，給出$k=1;2，t_0=0，{\sigma }^2=0$下的$f_{(i_1,...,i_j)}^{(k)}$。

對于$k=1$，$X_t^1=Y_t^{(1)}+m_{1}t$, 可得$f^{(1)}(t)=m_{1}t,f_{(1)}^{(1)}(t;0;t_1)=1.$

對于$k=2$

可得：

式（3）的性質：

對式（3）求期望

它獨立于$t_0$。（由于X是齊次的，所以與$t_0$獨立，Y是補償過程，期望為0）

$f_{(i_1,...,i_j)}^{(k)}$僅為小于k的實多變量多項式，對于$i_1+...+i_j>k$，有$f_{(i_1,...,i_j)}^{(k)}=0$

第二步：將Levy過程的冪$(X_{t+t_0}?X_{t_0}{)}^k,t_0,t\ge 0,k=1,2,3,...$寫成關于正交過程$H^{(j)},j=1,...,k$隨機積分之和。

3.2. 平方可積隨機變量的表示

定義：



對于任何給定的$?>0$，都存在一個有限集合$\{0<s_1<???<s_m\}$和一個平方可積隨機變量$Z_{?}\in L^2(\Omega ,\sigma (X_{s_1},X_{s_2},...,X_{s_m}))$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的1. 列维过程的混沌及可料表示（2）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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