最近對Levy過程驅動的正倒向隨機微分方程感興趣，看些論文，做些筆記，這一篇是David Nualart，Wim Schoutens在2000年發表于Stochastic Processes and their Applications的論文，次年，Nualart&Schoutens考慮了一個由Teugels Martingale驅動的倒向隨機微分方程，證明了這種BSDE的存在唯一性理論。

摘要：唯一具有混沌表示性質和較弱可預測表示性質且同時也是Levy過程的正規鞅，本質上是布朗運動和補償泊松過程。對于一般的Levy過程(滿足某些矩條件)，我們引入了冪跳過程和相關的Teugels鞅。此外，我們對Teugels鞅進行了正交化，并證明了它們的正交化與經典正交多項式有著內在的聯系。根據這些正交化的Teugels鞅，我們給出了每個平方積分隨機變量的混沌表示。平方可積隨機變量和平方可積鞅的同一個正交化鞅集的可預測表示是混沌表示的一個簡單結果。

1.1 正規鞅的混沌表示

Emery (1989)研究了正規鞅，即對于某個常數$c>0$，鞅$X$滿足$<X,X{>}_t=ct$的混沌表示性質。 這一性質表明，任何關于X可測的平方可積隨機變量都可以表示為關于X的多個隨機積分的正交和。
眾所周知(例如，Dellacherie等人，1992年，第207頁和Dermoune，1990年)，只有正規鞅X，具有CRP，甚至更弱的可預測表示特性，且為Levy過程，是布朗運動和補償泊松過程。

https://editor.csdn.net/md?articleId=105690716

1.2 本文內容

本文假設Levy測度在原點以外有一個有限的Laplace變換，以一個合適的鞅正交序列來研究Levy過程的混沌表示性質。這些鞅作為我們Levy過程的補償冪跳過程的正交化而得到。
第2節中，介紹了這些補償的冪跳過程，并將它們轉化為一個正交序列。
第3節致力于證明混沌表示性質，從中推導出可料表示。
第4節中，我們討論了一些具體的例子。

2. Levy過程及其power-jump過程

2.1 Levy過程

定義在完備概率空間$(\Omega ,F,P)$上的實值隨機過程$X=\{X_t,t\ge 0\}$稱為Levy過程，如果X具有平穩獨立增量，且$X_0=0$。

一個Levy過程具有cadlag修正(Protter,1990,定理30,p.21)，假設使用這個cadlag版本。
令$F_t=G_t\vee N$，其中$G_t=\{X_s;0\le s\le t\}$是X的自然σ代數流，$N$是$F$的P-零集全體，可得$\{F_t,t\ge 0\}$是一個右連續的σ代數流(Protter, 1990, Theorem 31, p. 22)。假設$F$是由$X$產生的。

定理1.1 (Levy-Khintchine 任佳剛 隨機過程 P67定理4.2.3) 無窮可分過程$X_t$具有以下形式的特征函數

其中$\Phi (\theta )$是$X_1$的特征函數，函數$\psi (\theta )=\log \Phi (\theta )$稱為特征指數，滿足以下著名的Levy公式

其中，$a\in R,{\sigma }^2\ge 0$，$v$是$R/\{0\}$的測度，${\int }_{?\infty }^{\infty }(1x^2)v(dx)<\infty$。其中$v$是X的Levy測度。

因此，$X_t$具有所有階的矩（Protter,1990,定理34,p.25），多項式在$L^2(R,P(X_t^{?1}))$中稠密。

2.2 power-jump過程

以下$X$的轉換將在分析中發揮重要作用。

為標記方便，令$X_t^{(1)}=X_t$。（注意該式只有$\sigma =0$時成立，根據levy-ito分解定理，保證維納過程不存在，由于該過程不是有限變差）。如果${\sigma }^2=0$, 則$[X,X{]}_t=X_t^{(2)}$。（Protter,2005,p.70）

過程$X_t^{(i)}$也是Levy過程（任佳剛 隨機過程 P74引理4.3.6）稱為power-jump過程，該過程是Levy過程且在與原Levy過程相同的點上跳躍。

可以得到$E[X_t]=E[X_t^{(1)}]=t{m}_1<\infty$，根據Protter(1990,p.29 定理38)，有

因此，定義

為補償$i$次power-jump過程。$Y_t^{(i)}$為正規鞅（由于對于可積的Levy過程$Z$，$\{Z_t?E[Z_t]，t\ge 0\}$是鞅，根據鞅的定義），第二作者將該鞅$Y_t^{(i)}$以導師的名字命名為Teugels martingale of order i。

在泊松過程的情況下，所有冪跳過程都是相同的，并且等于原泊松過程。 在布朗運動的情況下，所有嚴格大于1的冪跳過程等于零。

2.3 Teugels martingale的正交化

令${\mathcal{M}}^2$表示平方可積鞅空間，$M$滿足$su{p}_{t}E(M_t^2)<\infty ，M_0=0a.s$。根據鞅極限定理，若$M\in {\mathcal{M}}^2$，則$li{m}_{t\to \infty }E(M_t^2)=E(M_{\infty }^2)<\infty$，以及$M_t=E[M_{\infty }|{\mathcal{F}}_t]$。則$M\in {\mathcal{M}}^2$可以被終值$M_{\infty }$識別。

根據Protter(1990,p.148)，兩個鞅$M,N\in {\mathcal{M}}^2$強正交（$M\times N$）等價于乘積MN是一致可積鞅，即$[M,N]$是一致可積鞅。。

若兩個隨機變量$X,Y\in L^2(\Omega ,\mathcal{F})$滿足$E[XY]=0$，則$X,Y$弱正交$（X\perp Y）$。

我們正在尋找一組兩兩強正交鞅$\{H^{(i)}，i\ge 1\}$使得$H^{(i)}$是$Y^{(j)},j=1,2,...,i$的線性組合，且首項系數是1。令

則（Protter,2005,p.70）

以及

總之，我們認為，$[H^{(i)},Y^{(j)}]$是鞅等價于$E[H^{(i)},Y^{(j)}{]}_1=0$。（$[H^{(i)},Y^{(j)}]?E[H^{(i)},Y^{(j)}{]}_t=[H^{(i)},Y^{(j)}]$是鞅）

考慮兩個空間：空間$S_1$是具有標量積$<.,.{>}_1$的正實線上所有實多項式的空間

另一個空間$S_2$是Levy過程的Teugels鞅的所有線性變換的空間。

則空間$S_1$和空間$S_2$是等距同構的，因此$\{1,x^2,x^3,...\}$的正交化給出了$\{Y^{(1)},Y^{(2)},Y^{(3)},...\}$的正交化。

在這些例子中，一些著名的正交多項式，如Laguerre、Meixner和Meixner-Pollaczek多項式，將在這種情況下出現。 在Schoutens和Teugels（1998）和Schoutens（1999）中可以找到正交多項式與Levy過程之間的另一種鞅關系。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的1. 列维过程的混沌及可料表示（1）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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