1. 金融數(shù)學(xué)中的隨機(jī)變分法-Wiener空間與Wiener泛函

我們的目標(biāo)是研究無限維空間上的微分運(yùn)算，可以簡(jiǎn)單回憶一下：有限維空間的微分是建立在Lebesgue測(cè)度的平移不變性上的（有限維空間中對(duì)一切平移都不變的正則測(cè)度必是Lebesgue測(cè)度乘個(gè)常數(shù)因子）。由于Lebesgue測(cè)度在無限維空間上不具有平移不變性，因此我們必須降低測(cè)度平移不變性的要求，分析是否可以建立“類似”的平移不變測(cè)度理論——平移擬不變性。

前情提要：

平移擬不變測(cè)度

• Lebesgue測(cè)度在無限維空間上是否具有平移不變性？答：不具有
• 無限維空間上是否可以建立“類似”的平移不變測(cè)度理論以及相應(yīng)的微分運(yùn)算？答：降低對(duì)測(cè)度的平移不變性的要求，提出“擬不變測(cè)度”的概念

Wiener空間

• 經(jīng)典Wiener空間與抽象Wiener空間
• 經(jīng)典Wiener空間的測(cè)度具有平移擬不變性

1. 平移擬不變測(cè)度

1.1 平移不變測(cè)度

平移不變測(cè)度定義： 對(duì)于任意$x\in X$和任意$\mu$可測(cè)的集合$A$,我們定義
$$A?x=\{y\in X:y+x\in A\}$$
我們稱${\mu }_x$為$\mu$沿$x$方向的平移,如果對(duì)于任意可測(cè)的集合$A$,有$${\mu }_x(A)=\mu (A?x)$$
如果${\mu }_x(A)=\mu (A)$,則稱測(cè)度具有平移不變性。

有限維空間的Lebesgue測(cè)度具有平移不變性

無限維空間的Lebesgue測(cè)度不具有平移不變性：例如,設(shè)肝為任一可分、無窮維 Hilbert空問,若λ為中 Borel測(cè)度,在每一非空開集上取正數(shù)值,且在有界 Borel集上取有限值,則入不可能有運(yùn)動(dòng)不變性質(zhì)事實(shí)上,只要任取一組正交基{ek},考慮以ek為心、1/2為半徑的球Bk(k∈N,和以0為心、2為半徑的球B,若A具有運(yùn)動(dòng)不變性質(zhì),則因諸Bk互不相交且含于B中,必有X(B)≥∑A1A(Bx)=1imn→∑k=1A(Bk)=imn→nA(B1)=c于是和假定矛盾

1.2 平移擬不變測(cè)度

在本章中,我們以表示如下連續(xù)函數(shù)空間:
W≡{m∈C(R+→B2);t(O)=0,且im(tl=0
→∞1+t
261)
由 Brown運(yùn)動(dòng)軌道的熟知性質(zhì)(例如參看(0.3)可知其幾乎所有軌
道屬于空間W,因而 Wiener測(cè)度μ實(shí)際上集中于上,在中
定義范數(shù)
Mww= sup(1+t)"w(t)I,
則構(gòu)成可分 Banach空間.以B=B()表示其 Borel子集σ
代數(shù),B=B”表示B關(guān)于的完備化a代數(shù).則(w,B,4)為
一完備概率空間,其上一切B可測(cè)函數(shù)(隨機(jī)變量)都稱為 Wiener
泛函,而關(guān)于測(cè)度μ的積分(數(shù)學(xué)期望)記為E[
值得注意的是,一般的概率空間并沒有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)
但如果采用vB,)為基本概率空間,由于W是 Banach室間,給
予了概率空間以補(bǔ)充的線性拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),因此有可能討論對(duì) wiener
泛函的微分問題
關(guān)于 Banach空間中Gaus

總結(jié)

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