1. 金融數學中的隨機變分法-Wiener空間與Wiener泛函

我們的目標是研究無限維空間上的微分運算，可以簡單回憶一下：有限維空間的微分是建立在Lebesgue測度的平移不變性上的（有限維空間中對一切平移都不變的正則測度必是Lebesgue測度乘個常數因子）。由于Lebesgue測度在無限維空間上不具有平移不變性，因此我們必須降低測度平移不變性的要求，分析是否可以建立“類似”的平移不變測度理論——平移擬不變性。

前情提要：

平移擬不變測度

• Lebesgue測度在無限維空間上是否具有平移不變性？答：不具有
• 無限維空間上是否可以建立“類似”的平移不變測度理論以及相應的微分運算？答：降低對測度的平移不變性的要求，提出“擬不變測度”的概念

Wiener空間

• 經典Wiener空間與抽象Wiener空間
• 經典Wiener空間的測度具有平移擬不變性

1. 平移擬不變測度

1.1 平移不變測度

平移不變測度定義： 對于任意$x\in X$和任意$\mu$可測的集合$A$,我們定義
$$A?x=\{y\in X:y+x\in A\}$$
我們稱${\mu }_x$為$\mu$沿$x$方向的平移,如果對于任意可測的集合$A$,有$${\mu }_x(A)=\mu (A?x)$$
如果${\mu }_x(A)=\mu (A)$,則稱測度具有平移不變性。

有限維空間的Lebesgue測度具有平移不變性

無限維空間的Lebesgue測度不具有平移不變性：例如,設肝為任一可分、無窮維 Hilbert空問,若λ為中 Borel測度,在每一非空開集上取正數值,且在有界 Borel集上取有限值,則入不可能有運動不變性質事實上,只要任取一組正交基{ek},考慮以ek為心、1/2為半徑的球Bk(k∈N,和以0為心、2為半徑的球B,若A具有運動不變性質,則因諸Bk互不相交且含于B中,必有X(B)≥∑A1A(Bx)=1imn→∑k=1A(Bk)=imn→nA(B1)=c于是和假定矛盾

1.2 平移擬不變測度

在本章中,我們以表示如下連續函數空間:
W≡{m∈C(R+→B2);t(O)=0,且im(tl=0
→∞1+t
261)
由 Brown運動軌道的熟知性質(例如參看(0.3)可知其幾乎所有軌
道屬于空間W,因而 Wiener測度μ實際上集中于上,在中
定義范數
Mww= sup(1+t)"w(t)I,
則構成可分 Banach空間.以B=B()表示其 Borel子集σ
代數,B=B”表示B關于的完備化a代數.則(w,B,4)為
一完備概率空間,其上一切B可測函數(隨機變量)都稱為 Wiener
泛函,而關于測度μ的積分(數學期望)記為E[
值得注意的是,一般的概率空間并沒有拓撲結構和代數結構
但如果采用vB,)為基本概率空間,由于W是 Banach室間,給
予了概率空間以補充的線性拓撲結構,因此有可能討論對 wiener
泛函的微分問題
關于 Banach空間中Gaus

總結

以上是生活随笔為你收集整理的1. 金融数学中的随机变分法-Wiener空间与Wiener泛函的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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