3. 離散時間鞅(REN)

前情提要

鞅的定義及例子

Doob下鞅分解：下鞅=鞅+可料增過程

鞅與停時（Doob停止定理，鞅的離散停時序列是鞅$\to$鞅有關停時的等價命題）

鞅的矩估計

• 下鞅極值的終值控制不等式（Doob極大值不等式）
• 平方變差過程（平方變差過程的性質【$M^2?[M]$是鞅】、鞅與其平方變差的范數（【能量等式】、【BDG不等式】）、鞅變換的平方變差）

鞅的收斂定理（下鞅收斂定理【幾乎必然收斂】、鞅收斂定理【$L^1$收斂】）

1. 鞅的定義

• 適應過程與可料過程
  
• 鞅的定義：實值可積、適應、鞅性
  
  
• 舉例：
  
  
  
  此處$Y_n$稱為鞅變換。

2. Doob分解：下鞅=鞅+可料增過程

• Doob分解：下鞅=鞅+可料增過程
  
  
• Doob分解得到的增過程必須要求可料，否則分解不唯一。而對于連續樣本軌道的連續時間鞅是唯一的。

3. 鞅與停時（Doob停止定理）

3.1 停止過程

• 停時的定義
  
  
• 停止過程的定義
  
• 定理3.3.2（Doob停止定理）：鞅的停止過程是鞅
  
  

3.2 停止$\sigma$代數

• 停止$\sigma$代數的定義
  
• 停止$\sigma$代數的性質：在$\{\tau =n\}$時，${\mathcal{F}}_{\tau }$可視為${\mathcal{F}}_n$
  

3.3 停止過程與停止$\sigma$代數

• 定理3.3.5（Doob停止定理等價命題）：鞅的停止過程是鞅
  
  

• 定理3.3.8：鞅的離散停時序列是鞅
  
  
  

• 定理3.3.8的推論（鞅有關停時的等價命題）：這一定理的特殊情況是: 考慮兩個有界停時 $\tau \le \sigma$, 則 $E\left[{\xi }_{\sigma }\mid {\mathcal{F}}_{\tau }\right]=(\le ,\ge ){\xi }_{\tau }$, 因此更有
  $E\left[{\xi }_{\sigma }\right]=(\le ,\ge )E\left[{\xi }_{\tau }\right]$
  

4. 下鞅極值的終值控制不等式（Doob極大值不等式）

• Kolmogorov-Doob不等式
  
• Doob極大值不等式
  

5. 平方變差過程（鞅與其平方變差的范數）

• 平方可積鞅
  
• 平方變差過程（定義以及性質【鞅的平方-平方變差過程=鞅】）
  
  

5.1 鞅&平方變差 范數

2范數（能量等式）：鞅以及其平方變差的$L^2$范數相同

證明：由下鞅的Doob分解$M_n^2=2{\sum }_{k=1}^n{M}_{k?1}\left(M_k?M_{k?1}\right)+[M{]}_n$可得。

p范數（BDG不等式）

• • 常數$C_p$的具體值：
    
• • BDG不等式的推論：
    
    

p范數（d維鞅的BDG不等式） Khintchine不等式的推論

5.2 鞅變換的平方變差

• 鞅變換的定義
  
• 定理3.4.9 鞅變換的平方變差
  

6. 鞅的收斂定理

6.1 下鞅收斂定理(幾乎必然)

Cauchy準則的內涵: 一個數列收斂的條件是它的項越來越靠近。即它的振幅越來越小:對任意預先給定的數, 振幅超過這個數的項只有有限對.

對任意 $a<b$, 令 $n_1:=\inf \left\{n:{\lambda }_n\le a\right\},m_1:=\inf \{n>n_1:{\lambda }_n\ge$ $b\},?,n_k:=\inf \left\{n>m_{k?1}:{\lambda }_n\le a\right\},m_k:=\inf \left\{n>n_k:{\lambda }_n\ge b\right\},?$. 將 平面上的點 $\left(n_1,{\lambda }_{n_1}\right)$ 與 $\left(m_1,{\lambda }_{m_1}\right)$ 用直線連接, $?,\left(n_k,{\lambda }_{n_k}\right)$ 與 $\left(m_k,{\lambda }_{m_k}\right)$ 用直線連接, 則每一條這樣的直線都從下到上穿越區間 $(a,b)$。把這些直線的總條數稱為 $\left({\lambda }_n\right)$ 對 $(a,b)$的上穿數.

Cauchy準則：$\left({\lambda }_n\right)$ 收斂(允許收斂到無窮大)的充分必要條件是它對任意區間的上穿數都是有限的.

• 下鞅的Doob上穿不等式
  設 $\left({\xi }_n\right),n=0,1,?,N$, 是下鞅, $a<b$. 令
  $$\begin{array}{c}{\tau }_1:=\inf \left\{n:{\xi }_n\le a\right\}\\ {\sigma }_1:=\inf \left\{n>{\tau }_1:{\xi }_n\ge b\right\}\\ ?\\ {\tau }_k:=\inf \left\{n>{\sigma }_{k?1}:{\xi }_n\le a\right\}\\ {\sigma }_k:=\inf \left\{n>{\tau }_k:{\xi }_n\ge b\right\}\\ ?\end{array}$$
  $(\inf \{?\}=N)$. 再令 $\beta (a,b)$ 表示 $\left({\xi }_n\right)$ 對 $(a,b)$ 的上穿數. 則有
  
  現在考慮無限項的下鞅 $\left({\xi }_n,{\mathcal{F}}_n\right),n=0,1,2,?$ 。 以 $(a,b)$ 表示整個序列上 穿 $(a,b)$ 的次數而以 ${\beta }_N(a,b)$ 表示前 $N$ 項上穿 $(a,b)$ 的次數. 則
  $${\beta }_N(a,b)\uparrow \beta (a,b).$$
  于是由上一定理和Fatou引理得到
  
• 下鞅收斂定理：下鞅${\sup }_{n}E\left[\left|{\xi }_n\right|\right]<\infty$，則幾乎必然收斂且極限可積
  
  

6.2 鞅收斂定理($L^1$收斂)

記${\xi }_{\infty }:=li{m}_{n}E[\xi |{\mathcal{F}}_n]$

若 $\xi$ 為可積隨機變量, $\left\{{\mathcal{F}}_n\right\}$ 為 $\sigma$ 代數流, 則 ${\xi }_n:=E\left[\xi \mid {\mathcal{F}}_n\right]$為鞅且一致可積(見測度與概率教程P133), 故更有 ${\sup }_{n}E\left[\left|{\xi }_n\right|\right]<\infty$. 這樣首先由上一定理得到 ${\xi }_{\infty }:={\lim }_{n\to \infty }{\xi }_n$ 幾乎必然存在, 然后由一致可積性知道 ${\lim }_{n\to \infty }E\left[\left|{\xi }_n?{\xi }_{\infty }\right|\right]=0$. (幾乎處處收斂且$L^1$收斂)

$E[\xi |{\mathcal{F}}_n]$是鞅且一致可積；

一致可積鞅極限${\xi }_{\infty }$存在（幾乎處處且$L^1$收斂）；

${\xi }_{\infty }$ 和 $\xi$ 是什么關系?
${\xi }_{\infty }:=li{m}_{n}E[\xi |{\mathcal{F}}_n]$=$E[\xi |{\mathcal{F}}_{\infty }]$

${\xi }_n$是鞅，則一致可積<->存在${\xi }_{\infty }$,使得${\xi }_n=E[{\xi }_{\infty }|{\mathcal{F}}_n]$

一致可積鞅極限${\xi }_{\infty }$存在（幾乎必然且$L^1$收斂）；

${\xi }_n$是鞅,且存在${\xi }_{\infty }$,使得${\xi }_n=E[{\xi }_{\infty }|{\mathcal{F}}_n]$，${\xi }_n$幾乎必然且$L^1$收斂于${\xi }_{\infty }$。

注釋：由6.1節可得${\sup }_{n}E\left[\left|{\xi }_n\right|\right]<\infty$, 永遠會存在一個 ${\xi }_{\infty }$ 使得 ${\xi }_n\to {\xi }_{\infty }$ a.s… 但與此同時有沒有 ${\Vert {\xi }_n?{\xi }_{\infty }\Vert }_1\to 0$ 則要看 ${\xi }_{\infty }$ 是否是該鞅的終端值, 而這又要看它是否一致可積.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的3. 离散时间鞅(REN)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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