4. 連續(xù)時間鞅（REN）

前情提要

• 閉區(qū)間上的鞅（終端值必然存在）

鞅的定義

鞅與停時（Doob停止定理）

下鞅極值的終值控制不等式（Doob極大值不等式）

• 左閉右開區(qū)間的鞅（終端值未必存在）

鞅的收斂定理（$L^p$條件、$L^1$條件下終值的存在性）

• 簡單過程的隨機積分（鞅變換）
• 二次變差過程、交互變差過程
• 局部鞅（二次變差、成為鞅的條件、收斂性）
• 半鞅（定義及二次變差）

1. 閉區(qū)間上的鞅（終端值必然存在）

根據(jù)離散時間鞅終端值存在與否對于鞅收斂定理的重要性（參見上節(jié)注釋：如下）

注釋：由6.1節(jié)可得${\sup }_{n}E\left[\left|{\xi }_n\right|\right]<\infty$, 永遠會存在一個 ${\xi }_{\infty }$ 使得 ${\xi }_n\to {\xi }_{\infty }$ a.s… 但與此同時有沒有 ${\Vert {\xi }_n?{\xi }_{\infty }\Vert }_1\to 0$ 則要看 ${\xi }_{\infty }$ 是否是該鞅的終端值, 而這又要看它是否一致可積.

有無終端最本質(zhì)區(qū)別在于閉區(qū)間[0,1]上的鞅很自然有一個終端值$X_1$, 且有
$$X_t=E\left[X_1\mid {\mathcal{F}}_t\right],?t\in [0,1]$$
而開區(qū)間上的鞅沒有終端不一定有這個性質(zhì)，如果隨機過程趨于終端有有限的極限，那么理解為有終端值（取為極限值），那就有這個性質(zhì)。因此這需要對開區(qū)間上的鞅進行討論，看看在什么條件下存在終端值。當然了，如果定義了一個開區(qū)間上的鞅，我們沒有判定這個條件之前是不可以隨便把閉區(qū)間上的結(jié)果用上去的，這個要注意！！！！比如下鞅極值的終值控制不等式

因此，將連續(xù)時間鞅按照閉區(qū)間上的鞅與左閉右開區(qū)間的鞅分開進行討論。

閉區(qū)間上的鞅終端可以取到，終端的值必然存在，對應有限時間離散鞅以及無窮項但終值存在的離散鞅。

1.1 鞅的定義

• 鞅的定義：實值可積、適應、鞅性
  
• 定理：下鞅生成定理
  
• 例子
  
  
  
  

1.2. 鞅與停時（Doob停止定理）

• 鞅的離散停時序列是鞅
  
  
• 鞅有關(guān)停時的等價命題
  
• 鞅的停止過程是鞅
  

1.3. 下鞅極值的終值控制不等式（Doob極大值不等式）

• Kolmogorov-Doob不等式
  
  
• Doob極大值不等式
  

2. 左閉右開區(qū)間的鞅（終端值未必存在）

終端值存在的含義可以理解為趨于終端有有限的極限。左閉右開區(qū)間的鞅終值取不到，終端值存在性未知，對應無窮項的離散鞅。

討論一下鞅滿足什么條件下，終端值存在。

對定義在 $[0,1)$ 上的下鞅 $X$, 定義
$$D(X,[a,b])=\sup \{D(X,F,[a,b]):F?[0,1),F\text{?有限?}\},$$
其中 $D(X,F,[a,b])$ 為將 $X$ 限制在時間參數(shù)集 $F$ 上時對 $[a,b]$ 的上穿數(shù), 則利用已證的 離散時間鞅的上穿不等式可證

定理4.3.2沒有證明極限可積，那么無法將該值設(shè)定為終端值。下面討論極限可積性與[0,t)隨機過程的可積性間的關(guān)系。

以下對$L^p,p>1$和$L^1$分開討論。

• 引理：$su{p}_{t\in [0,1)}E[|X_t{|}^p]<\infty ,p>1$，可得極限可積，即鞅有終端值
  
• 引理：終端值$X_1\in L^1$,可得鞅在$L^1$中有界；鞅在$L^1$中有界，極限在$L^1$中不一定成立。
  

因此，如果不知道鞅是否是一致可積的情況下，不要隨便用閉區(qū)間上的結(jié)果。

3. 簡單過程的隨機積分（鞅變換）

• $p$方可積連續(xù)鞅
  
• 簡單過程隨機積分的性質(zhì)

簡單過程是有窮級數(shù)【隨機積分的二階矩】

簡單過程是無窮級數(shù)【隨機積分的收斂性】

4. 平方變差過程

4.1 平方變差過程

• 平方變差過程的性質(zhì)【$M^2?[M]$是鞅】
  
  

上定理中的 $[M]$ 稱為 $M$ 的平方變差過程. 這個命名的緣由可以從定理的證明看出來, 因為 $[M]$ 是離散平方變差 $A_n$（見離散時間鞅的平方變差表達式） 的極限.

正如曾經(jīng)指出過的, 離散時間時兩個不同的平方變差的差別, 即普通平方變差與可料平方變差的差別在這里消失了（見Doob分解定理，可料增過程與普通增過程）, 兩者合二為一了，否則不可能有唯一性.

• 鞅停止過程的二次變差=鞅二次變差的停止過程
  
  證明：設(shè) $\tau$ 為停時. 因為 $M^2?[M]$ 為鞅, 故由Doob停止定理, ${\left(M^{\tau }\right)}^2?[M{]}^{\tau }$ 也為鞅, 于是由Doob分解的唯一性可得。

4.2 交互變差過程

• 交互變差的定義
  
• 交互變差的性質(zhì)【$MN?[M,N]$是鞅】
  
• 相互獨立的鞅，交互變差為0（相互獨立的隨機變量，相關(guān)系數(shù)為0）
  

5. 局部鞅

• 局部鞅的定義
  

5.1 局部鞅的二次變差

選擇局部化停時列，將其局部化為$p$方可積鞅，可得

5.2 局部鞅$\to$鞅

由于局部鞅的定義中沒有要求隨機變量 $M_t$ 可積, 所以談 $M_t$ 的條件期望是沒有意義的.

分析：要使局部鞅成為鞅, 就必須在
$$E\left[M_{t\wedge {\sigma }_n}\mid {\mathcal{F}}_s\right]=M_{s\wedge {\sigma }_n}$$
的兩邊取極限 $n\to \infty$. 左邊涉及到極限和條件期望交換的問題. $\left(M_{t\wedge {\sigma }_n}\right)$一致可積時可以進行這種交換, 因為這時有
$$\Vert E\left[M_t\mid {\mathcal{F}}_s\right]?E[M_{t\wedge {\sigma }_n}\mid {\mathcal{F}}_s\Vert {}_1\le \Vert M_t?M_{t\wedge {\sigma }_n}{\Vert }_1\to 0,n\to \infty$$
但很難知道$\left(M_{t\wedge {\sigma }_n}\right)$什么時候是一致可積的，能想到的足以保證能夠交換次序的基本上就只有控制收斂定理了

• 局部鞅變成鞅的條件（控制收斂定理的推論）
  
  

5.3 局部鞅的收斂性

• 下鞅是下降的
  
• 局部鞅的收斂性
  

6. 半鞅（定義及二次變差）

下鞅是鞅與可料增過程之和，有界變差過程是增過程與降過程之和，則由此

• 半鞅的定義
  
  半鞅也是上鞅和下鞅之和，這個分解不唯一
• 半鞅的二次變差
  

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的4. 连续时间鞅（REN）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。