3.1 關(guān)于半鞅的隨機(jī)積分（Ren）

若$X=M+A$,其中$M\in M^{loc},A\in V$,$H$為可選過(guò)程,則定義過(guò)程$Y:=H?X$為
$$Y_t:=(H?X{)}_t:={\int }_0^t{H}_{s}d{X}_s:={\int }_0^t{H}_{s}d{M}_s+{\int }_0^t{H}_{s}d{A}_s$$
如果右邊的兩個(gè)積分都存在的話(huà).

關(guān)于半鞅的隨機(jī)積分=關(guān)于有界變差的隨機(jī)積分+關(guān)于局部鞅的隨機(jī)積分

1. 隨機(jī)Stieltjes積分（關(guān)于有界變差的隨機(jī)積分）

隨機(jī)Stieltjes積分：把$\omega$當(dāng)作參數(shù)，固定$\omega$后做Lebsgue-Stieltjes積分

1.1 有限變差過(guò)程

• 有限變差過(guò)程&增過(guò)程的定義
  
• 有限變差過(guò)程是兩個(gè)增過(guò)程之差
  

1.2 隨機(jī)Stieltjes積分

隨機(jī)Stieltjes積分定義：由測(cè)度論, $?\omega$ ,$A(,\omega )$產(chǎn)生一個(gè)Lebesgue-Stieltjes測(cè)度${\mu }_{A(\omega )}$。對(duì)任意非負(fù)過(guò)程$H$，只要$?\omega ,t\to f(t,\omega )$為Borel可測(cè)，就可逐$\omega$定義
$${\int }_0^t{f}_{s}d{A}_s:={\int }_0^t{f}_s{\mu }_A(ds)$$
因?yàn)?${\mu }_A$ 在單點(diǎn)集上的負(fù)荷為零,所以這里 ${\int }_0^t$ 理解為 ${\int }_{[0,T)}$ 還是 ${\int }_{[0,T]}$是無(wú)所謂的。這個(gè)過(guò)程記為$H?A$.

2. 關(guān)于局部鞅的隨機(jī)積分

之所以可以定義循序可測(cè)過(guò)程對(duì)Brown運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分, 關(guān)鍵是其保范性質(zhì), 而這個(gè)保范性質(zhì)的建立, 是建立的Brown運(yùn)動(dòng)具有獨(dú)立增量的基礎(chǔ)之上的.但仔細(xì)檢查一下證明,那里真正需要的其實(shí)并不是“獨(dú)立增量”這么強(qiáng)的性質(zhì), 而只要 $w^2?t$ 為鞅就足夠了。這就給推廣隨機(jī)積分帶來(lái)了希望, 因?yàn)閷?duì)一般的平方可積鞅$M$，$M^2?[M]$ 也是鞅.

基本思路：

• 簡(jiǎn)單過(guò)程關(guān)于鞅的隨機(jī)積分的定義，簡(jiǎn)單過(guò)程關(guān)于鞅的隨機(jī)積分是線(xiàn)性的，是關(guān)于t是連續(xù)的平方可積鞅，具有等距性$E[I(f{)}^2]=E{\int }_0^T[f^2(t)]dt$（線(xiàn)性等距算子）;
• 簡(jiǎn)單過(guò)程構(gòu)成的空間在可積函數(shù)構(gòu)成的空間${\mathcal{L}}_2$中是稠密的
• 根據(jù)1和2可得：可積過(guò)程${\mathcal{L}}_2$關(guān)于鞅隨機(jī)積分在$L^2$意義下有定義
• 關(guān)于局部鞅的隨機(jī)積分

簡(jiǎn)單過(guò)程關(guān)于鞅的隨機(jī)積分的定義，簡(jiǎn)單過(guò)程關(guān)于鞅的隨機(jī)積分是線(xiàn)性的，是關(guān)于t是連續(xù)的平方可積鞅，具有等距性$E[I(f{)}^2]=E{\int }_0^T[f^2(t)]dt$（線(xiàn)性等距算子）

• 簡(jiǎn)單過(guò)程關(guān)于鞅的隨機(jī)積分的定義
  
• 簡(jiǎn)單過(guò)程關(guān)于鞅的隨機(jī)積分具有等距性
  
  

2.簡(jiǎn)單過(guò)程構(gòu)成的空間在可積函數(shù)構(gòu)成的空間${\mathcal{L}}_2$中是稠密的

• 可積函數(shù)類(lèi)${\mathcal{L}}_2$
  
• $\mathcal{L}=L^2({\mu }_M)$
  
• 簡(jiǎn)單過(guò)程構(gòu)成的空間在$\mathcal{L}$中是稠密的
  
  
  
  

根據(jù)1和2可得：可積過(guò)程$\mathcal{L}$關(guān)于鞅隨機(jī)積分在$L^2$意義下有定義

• 可積過(guò)程$\mathcal{L}$關(guān)于鞅的隨機(jī)積分
  
• 可積過(guò)程$\mathcal{L}$關(guān)于鞅的隨機(jī)積分的性質(zhì)：平方變差&局部性
  

由第二個(gè)性質(zhì)可得識(shí)別隨機(jī)積分的方法

由命題7.4.3可得

隨機(jī)積分的估計(jì)

關(guān)于局部鞅的隨機(jī)積分

設(shè)$M\in {\mathcal{M}}_2^{loc},{\sigma }_n$ 為其局部化停時(shí)列.令
$$[M{]}_t:=[M^{{\sigma }_n}{]}_t,(t,\omega )\in [0,{\sigma }_n]$$
以及
$${\mathcal{L}}_2^{loc}(M):=\{H:{\int }_0^T{H}^{2}d[M{]}_t<\infty ,as\}$$
則 $?H\in {\mathcal{L}}_2^{loc}$ ,存在局部化停時(shí)列$\{{\tau }_n\}$使得
$$E[{\int }_0^{{\tau }_n}{H}^{2}d[M]]<\infty ,?n$$
令
$$M_n:=M^{{\sigma }_n},H_n(t,\omega ):=H{1}_{[0,n+1]}.$$
在$[0, \sigma _ {n} \wedge \tau _ {n} ] $上,令
$$M(t):=H_n?M_n$$
易證這個(gè)定義是沒(méi)有歧義的.$H?M$稱(chēng)為$H$對(duì)$M$的隨機(jī)積分.
我們也常常將$H \cdot M $寫(xiě)成積分的形式,即
$$H?M(t)={\int }_0^t{H}_{s}d{M}_s$$
利用局部化停時(shí)列過(guò)渡, 關(guān)于鞅的隨機(jī)積分除了要取期望的之外, 均可以推廣到
關(guān)于局部鞅的隨機(jī)積分。

3. 關(guān)于半鞅的隨機(jī)積分

3.1 關(guān)于半鞅的隨機(jī)積分

若$X=M+A$,其中$M\in M^{loc},A\in V$,$H$為可選過(guò)程,則定義過(guò)程$Y:=H?X$為
$$Y_t:=(H?X{)}_t:={\int }_0^t{H}_{s}d{X}_s:={\int }_0^t{H}_{s}d{M}_s+{\int }_0^t{H}_{s}d{A}_s$$
如果右邊的兩個(gè)積分都存在的話(huà).

右邊的兩個(gè)積分都存在的條件：這兩個(gè)積分存在的條件下不相同, 所以要提出一個(gè)公共的條件使它們都存在是比較麻煩的, 但有一些簡(jiǎn)單的充分條件保證它們都存在, 比如說(shuō)H是連續(xù)過(guò)程時(shí)就是如此.

由于這兩部分性質(zhì)差異較大, 把它們分開(kāi)看待而不是看作一個(gè)整體往往更方便一些。

3.2 半鞅的隨機(jī)微分

• 半鞅的隨機(jī)微分定義
  

• 半鞅的隨機(jī)微分滿(mǎn)足的條件
  

• 由命題7.4.3可得命題7.6.1
  
  
  

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的3.1 关于半鞅的随机积分（Ren）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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