題意：
\(F_n\)為斐波那契數列，\(F_1=1,F_2=2\)。
給定一個\(k\)，定義數列\(A_i=F_i \cdot i^k\)。
求\(A_1+A_2+ \cdots + A_n\)。
分析：
構造一個列向量，
\({\begin{bmatrix} F_{i-1}i^0 & F_{i-1}i^1 & \cdots & F_{i-1}i^k & F_{i}i^0 & F_{i}i^1 & \cdots & F_{i}i^k & S_{i-1} \end{bmatrix}}^T\)
轉移到列向量：
\({\begin{bmatrix} F_{i}i^0 & F_{i}i^1 & \cdots & F_{i}i^k & F_{i+1}i^0 & F_{i+1}i^1 & \cdots & F_{i+1}i^k & S_{i} \end{bmatrix}}^T\)
上半部分直接復制到上面去即可，考慮下半部分：
\(F_{i+1}(i+1)^k=(F_{i-1}+F_i)(i+1)^k=F_{i-1}\left [ (i-1)+2 \right ]^k + F_i(i+1)^k=F_{i-1} \sum C_k^j (i-1)^j 2^{k-j} + F_i \sum C_k^j i^j\)
最后\(S_i=S_{i-1}+F_i i^k\)
預處理一下組合數，按照上面的系數構造矩陣即可。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;typedef long long LL;const LL MOD = 1000000007;
const int maxsz = 90;LL n;
int k, sz;LL mul(LL a, LL b) { return a * b % MOD; }
LL add_mod(LL a, LL b) { a += b; if(a >= MOD) a -= MOD; return a; }
void add(LL& a, LL b) { a += b; if(a >= MOD) a -= MOD; }struct Matrix
{LL a[maxsz][maxsz];Matrix() { memset(a, 0, sizeof(a)); }Matrix operator * (const Matrix& t) const {Matrix ans;for(int i = 0; i < sz; i++)for(int j = 0; j < sz; j++)for(int k = 0; k < sz; k++)add(ans.a[i][j], mul(a[i][k], t.a[k][j]));return ans;}void output() {printf("sz = %d\n", sz);for(int i = 0; i < sz; i++) {for(int j = 0; j < sz - 1; j++)printf("%d ", a[i][j]);printf("%d\n", a[i][sz - 1]);}}
};Matrix pow_mod(Matrix a, LL p) {Matrix ans;for(int i = 0; i < sz; i++) ans.a[i][i] = 1;while(p) {if(p & 1) ans = ans * a;a = a * a;p >>= 1;}return ans;
}LL C[45][45], a[maxsz];void process() {for(int i = 0; i <= 40; i++) C[i][i] = C[i][0] = 1;for(int i = 2; i <= 40; i++)for(int j = 1; j < i; j++)C[i][j] = add_mod(C[i-1][j-1], C[i-1][j]);
}int main()
{process();scanf("%lld%d", &n, &k);sz = k * 2 + 3;for(int i = 0; i <= k; i++) {a[i] = 1;a[i + k + 1] = ((1LL << (i + 1)) % MOD);}a[sz - 1] = 1;Matrix M;for(int i = 0; i <= k; i++) M.a[i][i + k + 1] = 1;for(int i = 0; i <= k; i++)for(int j = 0; j <= i; j++) {M.a[i+k+1][j+k+1] = C[i][j];M.a[i+k+1][j] = mul(C[i][j], ((1LL << (i - j)) % MOD));}M.a[sz-1][sz-2] = M.a[sz-1][sz-1] = 1;M = pow_mod(M, n - 1);LL ans = 0;for(int i = 0; i < sz; i++)add(ans, mul(M.a[sz-1][i], a[i]));printf("%lld\n", ans);return 0;
}
轉載于:https://www.cnblogs.com/AOQNRMGYXLMV/p/5262709.html
總結
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