求1~n組成一個抖動序列的方案數

首先這種序列有一些非常妙妙但我發現不了的性質

1.對于一個抖動序列，如果i和i+1不相鄰，則交換i和i+1，他還是個抖動序列

2.對于一個抖動序列，我把每個數拿n+1減一下（上下翻轉），他還是個抖動序列，只不過波峰和波谷換了一下

3.對于一個抖動序列，我把它左右翻轉，他還是個抖動序列

于是設f[i][j]是i個數中，排名為j的數在第一個位置、且它是波峰的方案數

那么答案就是$2\sum{f[N][i]}$（我把它翻一下不就有所有的第一個數作為波谷的情況了嘛）

然后有方程$f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][j-1]$

考慮兩種情況：

　　1.j和j-1不相鄰，由性質1這種情況的f[i][j]就是f[i][j-1]

　　2.j和j-1相鄰，也就是j-1在第二個位置，這種情況的f[i][j]就是f[i-1][j-1]，就是不看j，然后把剩下的i-1個數拎出來，那j-1的排名還是j-1

合起來就是上面的方程

1 #pragma GCC optimize(3) 2 #include<bits/stdc++.h> 3 #define pa pair<ll,ll> 4 #define CLR(a,x) memset(a,x,sizeof(a)) 5 using namespace std; 6 typedef long long ll; 7 const int maxn=4205; 8 9 inline char gc(){ 10 return getchar(); 11 static const int maxs=1<<16;static char buf[maxs],*p1=buf,*p2=buf; 12 return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,maxs,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++; 13 } 14 inline ll rd(){ 15 ll x=0;char c=gc();bool neg=0; 16 while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') neg=1;c=gc();} 17 while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc(); 18 return neg?(~x+1):x; 19 } 20 21 int N,f[2][maxn],P; 22 23 int main(){ 24 //freopen("","r",stdin); 25 int i,j,k; 26 N=rd(),P=rd(); 27 f[1][1]=1; 28 for(i=2;i<=N;i++){ 29 for(j=1;j<=i;j++){ 30 f[i&1][j]=(f[i&1][j-1]+f[!(i&1)][i-j+1])%P; 31 } 32 } 33 int ans=0; 34 for(i=1;i<=N;i++) 35 ans+=f[N&1][i],ans%=P; 36 printf("%d\n",ans*2%P); 37 return 0; 38 }

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總結

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