歐拉定理

在數(shù)論中，歐拉定理（Euler Theorem，也稱費(fèi)馬-歐拉定理或歐拉函數(shù)定理）是一個(gè)關(guān)于同余的性質(zhì)。

歐拉定理有什么用？歐拉定理是RSA算法的核心。要實(shí)現(xiàn)RSA算法，需要編程實(shí)現(xiàn)此定理。

那么什么是同余？余，就是余數(shù)；mod之后的余數(shù)。

同余
數(shù)論中的重要概念。給定一個(gè)正整數(shù)m，如果兩個(gè)整數(shù)a和b滿足a-b能夠被m整除，即(a-b)/m得到一個(gè)整數(shù)，那么就稱整數(shù)a與b對模m同余，記作a≡b(mod m)。
對模m同余是整數(shù)的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。

歐拉φ函數(shù)的值

　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn為x的所有質(zhì)因數(shù)，x是不為0的整數(shù)。φ(1)=1（唯一和1互質(zhì)的數(shù)(小于等于1)就是1本身）。?
(注意：每種質(zhì)因數(shù)只一個(gè)。比如12=2*2*3 ?歐拉公式
那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4
若n是質(zhì)數(shù)p的k次冪，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因?yàn)槌藀的倍數(shù)外，其他數(shù)都跟n互質(zhì)。
設(shè)n為正整數(shù)，以 φ(n)表示不超過n且與n互
素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，稱為n的歐拉函數(shù)值，這里函數(shù)
φ：N→N，n→φ(n)稱為歐拉函數(shù)。

ψ（10）=10×（1－1/2）×（1－1/5）=4；
ψ（30）=30×（1－1/2）×（1－1/3）×（1－1/5）=8；
ψ（49）=49×（1－1/7）= =42；

碼；

#include <windows.h>using namespace std;int eular(int );int APIENTRY WinMain(HINSTANCE hInstance,HINSTANCE hPrevInstance,LPSTR lpCmdLine,int nCmdShow) {char szBuffer[100];int fai=eular(49);wsprintf(szBuffer, "%d",fai);MessageBox(NULL,szBuffer,TEXT("歐拉函數(shù)值"),0);return 0; }int eular(int n) { int ret=1,i; for(i=2;i*i<=n;i++) if(n%i==0) { n/=i,ret*=i-1; while(n%i==0) n/=i,ret*=i; } if(n>1){ ret*=n-1; //cout << n << endl;}return ret; }

不同的歐拉函數(shù)值如下；

工程；?

?

總結(jié)

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