UA MATH565C 隨機(jī)微分方程I SDE的定義與例子

• 隨機(jī)微分方程的定義
• • 白噪聲過程
  • SDE的一般形式
• 例子：Ornstein-Uhlenbeck過程

隨機(jī)微分方程的定義

經(jīng)典力學(xué)中描述一個(gè)確定性系統(tǒng)的演化過程通?？梢杂梦⒎址匠?#xff0c;比如ODE
$$\frac{dx}{dt}=b(x),x(0)=x_0,x,b(x)\in {\mathbb{R}}^n$$
但統(tǒng)計(jì)物理中系統(tǒng)都不會(huì)是確定性的，因此一般需要給這個(gè)ODE加一個(gè)噪聲，假設(shè)噪聲項(xiàng)是$\sigma (x){\eta }_t$，則
$$\frac{d{x}_t}{dt}=b(x_t)+\sigma (x_t){\eta }_t$$
通常稱$b(x)$為漂移項(xiàng)，$\sigma (x)$為噪聲的強(qiáng)度，${\eta }_t$是白噪聲。為了讓這個(gè)定義有意義，需要定義一下白噪聲。

白噪聲過程

白噪聲${\eta }_t$是一個(gè)隨機(jī)過程，假設(shè)概率空間為$(\Omega ,\mathcal{F},P)$，假設(shè)$t\in \mathcal{T}=[0,+\infty )$，則${\eta }_t$可以看成映射：
$${\eta }_t:(\Omega \times \mathcal{T},\mathcal{F}?\mathcal{B}(\mathcal{T}),P?\lambda )\to ({\mathbb{R}}^m,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^m))$$
其中$\mathcal{B}(\mathcal{T})$是$\mathcal{T}$生成的Borel $\sigma$代數(shù)，$\lambda$是可測(cè)空間$(\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{T})$上的Lebesgue測(cè)度。${\eta }_t$滿足下面三條公理化定義：

$E{\eta }_t=0,?t\in \mathcal{T}$

$E{\eta }_t{\eta }_s={\sigma }^2{\delta }_{ts},?t,s\in \mathcal{T},{\sigma }^2<+\infty$

高斯過程

但這個(gè)定義有一個(gè)缺點(diǎn)，即滿足這個(gè)定義的隨機(jī)過程路徑函數(shù)不可測(cè)。給定$w\in \Omega$，${\eta }_t(w)$是一個(gè)確定性的映射：
$${\eta }_t(w):(\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{T}),\lambda )\to ({\mathbb{R}}^m,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^m))$$
這個(gè)叫路徑函數(shù)（path function）或者叫這個(gè)隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)（realization）。
定理1 白噪聲過程的路徑函數(shù)不可測(cè)。
證明的時(shí)候考慮更一般的白噪聲，即去掉假設(shè)3，正式的敘述為：

以及給一個(gè)我自己寫的比較簡(jiǎn)陋的證明：

更完整的敘述可以看Oksendal的Stochastic Differential Equation的第二章。

為了讓它的路徑函數(shù)可測(cè)，通常將定義2修正為：

$E{\eta }_t{\eta }_s={\delta }_{ts}$

根據(jù)上面1、2、3定義的隨機(jī)過程${\eta }_t$就是白噪聲過程（更準(zhǔn)確地，高斯白噪聲）。

SDE的一般形式

現(xiàn)在重新考慮
$$\begin{gathered} \frac{d{x}_t}{dt}=b(x_t)+\sigma (x_t){\eta }_t \\ ?d{x}_t=b(x_t)dt+\sigma (x_t){\eta }_{t}dt \end{gathered}$$
對(duì)于${\eta }_{t}dt$，假設(shè)它是某個(gè)隨機(jī)過程$W_t$的全微分，即
$$d{W}_t={\eta }_{t}dt?W_t={\int }_0^t{\eta }_{s}ds$$
積分的本質(zhì)就是部分和的極限，這些運(yùn)算保證$W_t$也是一個(gè)高斯過程。事實(shí)上我們一般稱$W_t$為Wiener過程或者Brown運(yùn)動(dòng)，下一講會(huì)正式定義Wiener過程。有了這個(gè)定義后，可以寫出SDE的一般形式：
$$d{x}_t=b(x_t)dt+\sigma (x_t)d{W}_t$$
已知初值的情況下，可以寫出這個(gè)式子的積分：
$$x_t=x_0+{\int }_0^{t}b(x_s)ds+{\int }_0^t\sigma (x_s)d{W}_s$$
搞清楚了右邊這兩個(gè)積分，我們就可以找到SDE的解了。第一個(gè)積分是
$${\int }_0^{t}b(x_s)ds$$
可以看成是對(duì)$b(x_s)$的每一個(gè)路徑函數(shù)積分，這個(gè)就是實(shí)分析的內(nèi)容不用多討論；第二個(gè)積分是
$${\int }_0^t\sigma (x_s)d{W}_s$$
一般稱其為Ito積分，下下講會(huì)給出Ito積分的正式定義。Ito隨機(jī)分析框架的目標(biāo)就是求解上面的定義的SDE。

一個(gè)更一般的觀點(diǎn)是并不給定${\eta }_t$的具體形式，把SDE看成是隨機(jī)過程${\eta }_t$到隨機(jī)過程$x_t$的變換。

例子：Ornstein-Uhlenbeck過程

考慮用如下SDE定義的初值為$x_0$的隨機(jī)過程$x_t$：
$$d{x}_t=?k{x}_{t}dt+?d{W}_t,k,?>0$$
現(xiàn)在還沒有講過SDE的解法，所以先直觀地思考一下這個(gè)方程。首先我們發(fā)現(xiàn)，$?d{W}_t$是時(shí)間$dt$內(nèi)的噪聲項(xiàng)，排除掉噪聲，原始的系統(tǒng)是
$$dx=?kxdt$$
這個(gè)系統(tǒng)的解就是$x(t)=x_0{e}^{?kt}$，一般用來描述衰變等過程，這個(gè)解換個(gè)寫法就是$x(t)e^{kt}=const.$，也就是$d(x(t)e^{kt})=0$。我們可以根據(jù)SDE試圖計(jì)算一下$d(x_t{e}^{kt})$：
$$\begin{gathered} d(x_t{e}^{kt})=e^{kt}d{x}_t+d(e^{kt})x_t \\ =e^{kt}(?k{x}_{t}dt+?d{W}_t)+k{e}^{kt}{x}_{t}dt=?e^{kt}d{W}_t \end{gathered}$$
也就是說隨機(jī)過程$x_t{e}^{kt}$的全微分只含有噪聲項(xiàng)，求積分：
$$\begin{gathered} x_t{e}^{kt}=x_0+?{\int }_0^t{e}^{ks}d{W}_s \\ ?x_t=x_0{e}^{?kt}+?{\int }_0^t{e}^{?k(t?s)}d{W}_s \end{gathered}$$
這個(gè)就是上面那個(gè)SDE的解。這個(gè)包含一個(gè)確定項(xiàng)和一個(gè)隨機(jī)過程，確定項(xiàng)正好是不考慮噪聲的ODE的解。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH565C 随机微分方程I SDE的定义与例子的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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