UA MATH574M 統(tǒng)計學習V Variable Selection簡介

• 兩個基礎方法
• • Ranking Variables
  • Best Subset Algorithm
• 對基礎方法的改進
• • Generalized Information Criteria (GIC)
  • Search Method
  • • Forward Selection
    • Backward Elimination

Variable selection的目標是從所有的predictor中選擇一個子集，這個子集具有所有的predictor的大部分解釋力，同時又能顯著減少model fitting的計算成本。先定義一些符號： $\{(X_i,Y_i){\}}_{i=1}^n$是數(shù)據(jù)集， $X_i\in {\mathbb{R}}^d$， $d$的含義是predictor的數(shù)目，假設這些數(shù)目的index set為 $S=\{1,2,?,d\}$，用某種算法選擇的index subset記為 $A$。如果用線性模型來fit這些數(shù)據(jù)，假設系數(shù)為 $\beta$，真實系數(shù)為 ${\beta }_0$，真實模型的index set為 $A_0$。

兩個基礎方法

Ranking Variables

記每一個predictor為$x_i,i=1,?,d$，dependent variable的數(shù)據(jù)為$y$。假設$x_i$與$y$已經(jīng)做了centered，并且$x_j^T{x}_k=0,j=k$（正交設計），則
$$\hat{\beta }=\frac{x_j^{T}y}{x_j^T{x}_j},j=1,?,d$$
因為設計矩陣的各列正交，因此$X^{T}X$是對角陣，由此可以寫出上面這個系數(shù)估計。定義
$$t_j={\hat{\beta }}_j||x_j|{|}^{1/2}/\hat{\sigma }$$
由此計算回歸平方和為
$$SSR=(X\hat{\beta }{)}^T(X\hat{\beta })=\sum _{i=1}^d{\hat{\beta }}_j^2||x_j|{|}^2=\sum _{i=1}^d{\hat{\sigma }}^2{t}_j^2=\sum _{j=1}^d{R}_j^2$$
模型的可決系數(shù)為
$$R^2=\frac{SSR}{SST}=\frac{1}{SST}\sum _{j=1}^d{R}_j^2$$
$R_j$或者$t_j$都可以理解為第$j$個predictor在回歸模型中的解釋力，按任何一個從大到小的順序可以用來給predictor排個序，用來做variable selection。這個想法非常直觀，但只適用于正交設計，實際上大多數(shù)問題的predictor都不會是正交的，所以這個方法只能作為一個基準。

Best Subset Algorithm

這個算法的思想很簡單，并且不需要正交設計的條件。我們可以把full index set$S=\{1,2,?,d\}$的所有subset對應的模型都fit并且evaluate一下，找到最優(yōu)的那個就好。然而它所有的子集數(shù)目為$2^d$，這意味著要遍歷所有的子集找出最優(yōu)的一個，需要做$2^d$次model fitting，顯然這是個NP問題。另外evaluate的方法可能造成overfitting，比如用殘差平方和來evaluate，實際上使用的predictor數(shù)目越多，殘差平方和肯定是會下降了，所以模型傾向于多用predictor，造成overfitting。要解決overfitting的問題比較簡單，因為用統(tǒng)計方法直接做的話相當于只做了最小化training error，而沒有對model size做penalty，因此加上對model size的penalty可以改進這個不足。

對基礎方法的改進

Generalized Information Criteria (GIC)

定義GIC為：
$$GIC=trainingerror+\alpha d.f.$$
其中$d.f.$是模型的自由度，則最優(yōu)的subsets具有最小的GIC。第一項考慮的就是training error，不看第二項的時候第一項與監(jiān)督學習的問題是完全一樣的，$\alpha$是對model size的penalty，加上第二項說明我們需要在最小化training error的情況下盡量讓model size比較小。經(jīng)典的criteria是AIC和BIC。AIC的定義是
$$AIC=n\ln R_{emp}(f)+2d.f.$$
BIC的定義是
$$BIC=n\ln R_{emp}(f)+d.f.\ln n$$
事實上，BIC具有一致性，即樣本量趨近無窮時，BIC決定的結果趨近于真實模型。但樣本數(shù)沒有那么多的時候，BIC和AIC各有優(yōu)劣。但要用線性模型來近似真實模型時（真實模型不在model set里面），AIC決定的結果是最優(yōu)近似。因此，實際應用的時候兩個都會計算一下，比較結果會不會差很多。當樣本量稍微大一點的時候，即$lnn>2$時，BIC penalizes more on model size，所以當candidate mode set比較大的時候，BIC比AIC好，因為BIC選擇出來的結果會更sparse。

Search Method

解決了penalty之后接下來就是NP問題，Furnival and Wilson（1974）指出$d\le 40$的時候best subset algorithm是有效的。當$d$比較大時，要解決這個NP問題可以用search method(或者叫greedy method)，即找出一條path，只需要遍歷這條path上的subset就可以了。常用的search method有三種：forward selection、backward elimination、stepwise selection。這一類方法的優(yōu)勢比較明顯，簡單直觀可能實現(xiàn)更低的prediction error，但也可能得到局部最優(yōu)，并且這類方法沒有理論支撐，即沒有BIC那種一致性。下面兩種方法的示例可以看回歸那個系列的文章。

Forward Selection

Forward Selection能夠把遍歷的subset的數(shù)目從$2^d$減少為${\sum }_{i=1}^d=C_d^2$。它的思想非常簡單，首先比較所有的$d$個predictor，選出最優(yōu)的一個，然后比較最優(yōu)的這個predictor和其他$d?1$個predictor，選出最優(yōu)的一組，然后比較這一組predictor和其他$d?2$個predictor組成的三個predictor的組合，選出最優(yōu)的一組。。。關于每次新加的那個predictor值不值得加還可以再用F檢驗（廣義線性檢驗方法，參考回歸那個系列）來做一下，如果沒法拒絕原假設還可以再少考慮一個subset。最后evaluate模型可以用AIC或者BIC。

Backward Elimination

Backward Elimination也能夠把遍歷的subset的數(shù)目從$2^d$減少為$C_d^2$。它的想法和Forward Selection正好相反，它從full model出發(fā)，逐步減少predictor，還是用廣義線性檢驗方法判斷該不該減少。用AIC、BIC來evaluate模型。

在具體應用的時候，Backward Elimination從最復雜的模型開始計算，Forward Selection從最簡單的模型開始計算，所以計算上Forward Selection要更便捷一點。但這兩種方法都有個缺點，如果在判斷的時候錯誤地刪除了一個變量，它們都無法改正回來。因此又提出了Stepwise Selection，就是允許每一步添加或者刪除一個predictor，相當于結合了這兩種方法，從而可以修改錯誤判斷。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH574M 统计学习V Variable Selection简介的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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