UA MATH566 統(tǒng)計(jì)理論7 一個(gè)例子：推導(dǎo)T檢驗(yàn)

T檢驗(yàn)在math 571A和math 571B中已經(jīng)用的很多了，這里按前兩講介紹的假設(shè)檢驗(yàn)的理論回顧一下T檢驗(yàn)，看一下T檢驗(yàn)是怎么用似然比檢驗(yàn)的思路推導(dǎo)出來(lái)的。
考慮雙邊的單總體檢驗(yàn)：
$$\begin{gathered} H_0:\mu ={\mu }_0 \\ {H}_a:\mu ={\mu }_0 \end{gathered}$$
假設(shè)樣本為$X_1,?,X_n{～}_{iid}N(\mu ,{\sigma }^2)$，參數(shù)$\mu$與$\sigma$都是未知的。參數(shù)空間可以寫(xiě)成
$$\begin{gathered} \Theta =\{(\mu ,{\sigma }^2):\mu \in \mathbb{R},{\sigma }^2>0\} \\ {\Theta }_0=\{(\mu ,{\sigma }^2):\mu ={\mu }_0,{\sigma }^2>0\} \\ {\Theta }_1=\{(\mu ,{\sigma }^2):\mu ={\mu }_0,{\sigma }^2>0\} \end{gathered}$$
根據(jù)Karlin-Rubin定理，這個(gè)檢驗(yàn)的UMP拒絕域可以按如下方式構(gòu)造：
$$C=\{x:\lambda (X)\le k_{\alpha }\}$$
滿足
$$P[X\in C]=P[\lambda (X)\le k_{\alpha }]\le \alpha$$
首先，參數(shù)在$\Theta$上的MLE及相應(yīng)的似然函數(shù)為
$$\begin{gathered} \hat{\mu }=\bar{X},{\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2 \\ L(\hat{\mu },{\hat{\sigma }}^2|X)=(2\pi {\hat{\sigma }}^2{)}^{?n/2}\exp \left[?\frac{1}{2{\hat{\sigma }}^2}\sum _{i=1}^n(X_i?\hat{\mu }{)}^2\right] \\ =(2\pi {\hat{\sigma }}^2{)}^{?n/2}\exp \left[?\frac{n}{2}\right] \end{gathered}$$
參數(shù)在${\Theta }_0$上的MLE為及相應(yīng)的似然函數(shù)為
$$\begin{gathered} \hat{\mu }={\mu }_0,{\hat{\sigma }}_0^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i?{\mu }_0{)}^2 \\ L(\hat{\mu },{\hat{\sigma }}_0^2|X)=(2\pi {\hat{\sigma }}_0^2{)}^{?n/2}\exp \left[?\frac{1}{2{\hat{\sigma }}_0^2}\sum _{i=1}^n(X_i?{\mu }_0{)}^2\right] \\ =(2\pi {\hat{\sigma }}_0^2{)}^{?n/2}\exp \left[?\frac{n}{2}\right] \end{gathered}$$
將MLE帶入到似然函數(shù)中計(jì)算似然比：
$$\Lambda (X)={\left(\frac{{\hat{\sigma }}_0^2}{{\hat{\sigma }}^2}\right)}^{?n/2}={\left(\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i?{\mu }_0{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2}\right)}^{?n/2}$$
要讓這個(gè)值不超過(guò)某個(gè)$k_{\alpha }$，則$?c_{\alpha }$
$$\begin{gathered} c_{\alpha }\le \frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i?{\mu }_0{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2}=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2}+\frac{{\sum }_{i=1}^n(\bar{X}?{\mu }_0{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2} \\ =1+\frac{n(\bar{X}?{\mu }_0{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2}?(c_{\alpha }?1)(n?1)\le \frac{n(\bar{X}?{\mu }_0{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2/(n?1)} \end{gathered}$$
顯然右邊那項(xiàng)是T統(tǒng)計(jì)量的平方，記
$$T(X)=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}?{\mu }_0)}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X}{)}^2/(n?1)}}=\frac{\bar{X}?{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}～t(n?1)$$
從而
$$\sqrt{(c_{\alpha }?1)(n?1)}\le |T(X)|$$
其中$c_{\alpha }$要滿足
$$P[\sqrt{(c_{\alpha }?1)(n?1)}\le |T(X)|]\le \alpha$$
因此可以取$\sqrt{(c_{\alpha }?1)(n?1)}=t(\frac{\alpha }{2},n)$，即UMP的拒絕域?yàn)?br /> $$\{X:|T(X)|\ge t(\frac{\alpha }{2},n?1)\}$$
正好就是t檢驗(yàn)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH566 统计理论7 一个例子：推导T检验的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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