UA MATH571B 試驗(yàn)設(shè)計(jì)V 析因設(shè)計(jì)簡介

• 模型設(shè)定與假設(shè)
• • Response Surface
  • 一般的析因設(shè)計(jì)
  • 區(qū)組析因設(shè)計(jì)

之前講過的單因素到Graeco-Latin Square設(shè)計(jì)處理的都是一個(gè)treatment factor的問題，但大多數(shù)情況下做試驗(yàn)不會(huì)只考慮一個(gè)treatment factor。超過一個(gè)treatment factor的設(shè)計(jì)叫析因設(shè)計(jì)（factorial design），這一講先介紹兩個(gè)treatment factor的析因設(shè)計(jì)，它相當(dāng)于單因素試驗(yàn)設(shè)計(jì)的推廣，后續(xù)會(huì)逐漸推廣到多個(gè)factor，并引入blocking、正交等概念。

模型設(shè)定與假設(shè)

只含有兩個(gè)treatment factor的析因試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)模型為
$$\begin{gathered} y_{ijk}=\mu +{\tau }_i+{\beta }_j+(\tau \beta {)}_{ij}+{?}_{ijk},{?}_{ijk}{～}_{iid}N(0,{\sigma }^2) \\ i=1,?,a,j=1,?,b,k=1,?,n \end{gathered}$$
其中$\mu$是總體均值，${\tau }_i$是第一個(gè)treatment factor的level i 的treatment effect，${\beta }_j$是第二個(gè)treatment factor的level j 的treatment effect，$(\tau \beta {)}_{ij}$是第一個(gè)treatment factor的level i 與第二個(gè)treatment factor的level j 的交互效應(yīng)，$n$是重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)。還是用固定效應(yīng)模型的假設(shè)
$$\sum {\tau }_i=\sum {\beta }_j=\sum _i(\tau \beta {)}_{ij}=\sum _j(\tau \beta {)}_{ij}=0$$
參數(shù)估計(jì)我就不寫了，每次都大同小異，直接上我老師ppt截圖，這些估計(jì)量都是OLS估計(jì)，也是MLE：

平方和的分解也懶得推了，反正每次都大同小異，也用老師slides的截圖

然后是關(guān)于treatment effect的假設(shè)檢驗(yàn)

以及ANOVA table

到這里先評(píng)論兩點(diǎn)：

$SSE$的自由度是$ab(n?1)$，這意味著只做了一次試驗(yàn)的話$MSE$是不存在的，這個(gè)上面的檢驗(yàn)也就沒法做了，所以析因試驗(yàn)需要做多組重復(fù)試驗(yàn)；

模型需要驗(yàn)證的假設(shè)還是正態(tài)性、獨(dú)立性、同方差性；

再強(qiáng)調(diào)一下可加性的含義。可加性指的是每個(gè)factor的effect加起來就是總的effect，顯然存在交互效應(yīng)時(shí)就不滿足可加性，因此如果不是所有的交互效應(yīng)都為零，我們應(yīng)該認(rèn)為析因試驗(yàn)沒有可加性；但關(guān)于析因設(shè)計(jì)是否具有可加性，依然可以用Tukey‘s 檢驗(yàn)來做。

效應(yīng)的比較可以用單因素試驗(yàn)的類似的辦法來做。

Response Surface

ANOVA都是把factor當(dāng)成qualitative變量來處理的，如果factor是quantitative變量并且想當(dāng)成quantitative變量來估計(jì)，可以用response surface的方法來處理，也就是用回歸的方法來估計(jì)模型：
$$y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_A+{\beta }_2{x}_B+{\beta }_3{x}_A{x}_B+?$$
得到估計(jì)量之后，畫出$\hat{y}$關(guān)于$x_A$與$x_B$的曲面就是response surface。

一般的析因設(shè)計(jì)

假設(shè)有$r$個(gè)factor，$F_1,?,F_r$，每一個(gè)的level數(shù)目為$l_i,i=1,?,r$，則共有
$$(\sum _{i=1}^r{l}_i)+(\sum _{i<j}{l}_i{l}_j)+(\sum _{i<j<j}{l}_i{l}_j{l}_k)+?+(\prod _{i=1}^r{l}_i)$$
種不同的效應(yīng)。以三個(gè)factor的為例，模型設(shè)定為

ANOVA table為

區(qū)組析因設(shè)計(jì)

Blocked factorial design指的是在有nuisance factor的情況下考慮多個(gè)treatment factor的設(shè)計(jì)。以兩個(gè)treatment factor的試驗(yàn)有一個(gè)nuisance factor為例，具體操作也比較簡單，把$n$個(gè)重復(fù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)為把$n$個(gè)block factor的level隨機(jī)分配給析因設(shè)計(jì)的單位即可。ANOVA table如下：

如果兩個(gè)treatment factor的試驗(yàn)有兩個(gè)block factor，就先把兩個(gè)block factor弄成Latin Square，再隨機(jī)分配給析因設(shè)計(jì)的試驗(yàn)單位，統(tǒng)計(jì)模型如下：

總結(jié)

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