UA MATH565C 隨機微分方程II Wiener過程簡介

• Wiener過程的簡單性質
• • Wiener過程的定義

在上一講我們定義了$W_t$：
$$d{W}_t={\eta }_{t}dt?W_t={\int }_0^t{\eta }_{s}ds$$
其中${\eta }_t$是高斯白噪聲過程，$W_t$被稱為Wiener過程或者Brown運動。這一part給出Wiener過程的構造理論，以及一些常用的性質與結論。

Wiener過程的簡單性質

因為Wiener過程根據高斯白噪聲構造，所以性質也主要由高斯白噪聲的性質推導得到。高斯白噪聲的性質為：

$E{\eta }_t=0,?t\in \mathcal{T}$

$E{\eta }_t{\eta }_s=\delta (t?s),?t,s\in \mathcal{T},{\sigma }^2<+\infty$

高斯過程

根據這三條，可以得到Wiener過程的三條簡單性質：

高斯過程

$E{W}_t=E{\int }_0^t{\eta }_{s}ds={\int }_0^{t}E{\eta }_{s}ds=0$

$?0\le s<t<v<u,E[(W_t?W_s)(W_u?W_v)]=0$
這一條是根據高斯白噪聲的性質2得到的，因為$W_t?W_s={\int }_s^t{\eta }_{r}dr,W_u?W_v={\int }_v^u{\eta }_{r}dr$。

其實根據$W_t$的定義還可以看出它的初值為0：
$$W_0={\int }_0^0{\eta }_{t}dt=0$$
從Wiener過程的性質3得到，假設$s<t$，則
$$E[W_s(W_t?W_s)]=0?E[W_s{W}_t]=E[W_s^2]=s$$
這個結論可以寫成更一般的：
$$E[W_s{W}_t]=min(s,t),?s,t\in \mathcal{T}$$
其中$W_t$的矩的計算可以用特征函數來做，這里給兩個結論：$?k\in \mathbb{N}$

$E[W_t{]}^{2k}=\frac{(2k)!}{2^{k}k!}{t}^k$

$E[W_t{]}^{2k?1}=0$

因為$W_t～N(0,t)$，所以Wiener過程的矩可以直接套用正態分布的$n$階矩公式，公式的推導懶得打字，直接貼我的作業：


里面那個復合函數的高階導數公式可以參考柯召的組合論。

Wiener過程的定義

根據Wiener過程的簡單性質來定義它，如果隨機過程$W_t$滿足下面三條性質：$?s,t\in \mathcal{T}$

高斯過程；

$E{W}_t=0$;

$E[W_t{W}_s]=min(s,t)$

比較正式的構造需要用Kolmogorov定理，為此$W_t$的路徑函數依概率1連續，Wiener過程的構造放在下一講。

應用Wiener過程之前，需要根據這三條性質來驗證一個隨機過程是不是Wiener過程，下面舉幾個例子來說明。

如果$W_t$是Wiener過程，則
例1
1、$?W_t$是Wiener過程；
2、$X_t=W_{t_0+t}?W_t$是Wiener過程，$?t_0\in \mathcal{T}$
第一條比較直觀，驗證一下第二條的性質3：
$$\begin{gathered} E[X_s{X}_t]=E[(W_{t_0+s}?W_s)(W_{t_0+t}?W_t)] \\ =E[W_{t_0+s}{W}_{t_0+t}]+E[W_s{W}_t]?E[W_{t_0+s}{W}_t]?E[W_{t_0+t}{W}_s] \\ =min(t+t_0,s+t_0)+min(t,s)?min(t_0+s,t)?min(t_0+t,s)=min(t,s) \end{gathered}$$

例2 $Y_t=\frac{1}{c}{W}_{c^{2}t}$是Wiener過程，這種構造叫Wiener Scaling
性質1、2都很顯然，驗證一下性質3：
$$E[Y_s{Y}_t]=E[\frac{1}{c^2}{W}_{c^{2}s}{W}_{c^{2}t}]=\frac{1}{c^2}min(c^{2}s,c^{2}t)=min(s,t)$$

例3 $Z_t=t{W}_{\frac{1}{t}}$是Wiener過程
性質1、2同樣很顯然，先驗證一下性質3：
$$E[Z_s{Z}_t]=E[st{W}_{\frac{1}{s}}{W}_{\frac{1}{t}}]=stmin(\frac{1}{s},\frac{1}{t})=min(s,t)$$
需要注意的是這個隨機過程的時間在$W_t$的基礎上做了一個反比例變換，導致$t=0$成為了一個奇點。因此需要驗證一下這個隨機過程的路徑函數是否以概率1連續，更精確一點，要驗證$Z_t$在$t=0$處能以概率1連續。
定義$E=\{w:Z_t\to 0,ast\to 0\}$，用一個比較神奇的構造：
$$E=\underset{n}{?}\underset{m}{?}\underset{q\in \mathbb{Q}\cap [0,\frac{1}{m}]}{?}\{w:|Z_q|\le \frac{1}{n}\}$$
要證明以概率1連續，需要
$$P(E)=1$$
因為$Z_q=\frac{W_{\frac{1}{q}}}{1/q}$，當$q\to 0$，$\frac{1}{q}\to \infty$，根據大數法則$Z_q\to 0a.s.$，用這個來證明$P(E)=1$就很直接了。再來看一下這個神奇的構造，要證明$Z_t$在$t=0$處連續，需要在$\mathcal{T}$上找一個收斂到0的子列，滿足按這個子列對$Z_t$的采樣依概率1收斂到0。因為$Z_t$中的時間在已知的Wiener過程中是$1/t$，所以這里用$q=\mathbb{Q}\cap [0,\frac{1}{m}],m=1,?,\infty$是在確定一個收斂到0有理子列。$|Z_q|\le \frac{1}{n}$并對$n=1,?,\infty$取交集，$Z_q$其實就是按那個子列對$Z_t$做的一列采樣，如果這個東西的概率是1，就可以說明這個子列對$Z_t$的采樣依概率1收斂到0。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH565C 随机微分方程II Wiener过程简介的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。