UA MATH565C 隨機(jī)微分方程III Ito積分簡(jiǎn)介

• Wiener過(guò)程的分割
• • 與Riemann積分的對(duì)比
• Ito積分的構(gòu)造

在隨機(jī)微分方程解的構(gòu)造中，積分
$${\int }_0^t\sigma (X_s)d{W}_s$$
被叫做Ito積分，這一part的目標(biāo)是構(gòu)造Ito積分并給出一些Ito積分常用的性質(zhì)。

Riemann積分和Lebesgue積分的構(gòu)造是大家耳熟能詳?shù)?#xff0c;Riemann積分的構(gòu)造中最重要的思想是積分就是基于分割定義的部分和的極限；Lebesgue積分的構(gòu)造中主要的思路是先定義簡(jiǎn)單可測(cè)函數(shù)的積分，再用簡(jiǎn)單可測(cè)函數(shù)序列逼近一般可測(cè)函數(shù)。把這些思想用在Ito積分的構(gòu)造中，首先我們研究分割和部分和的性質(zhì)，然后定義簡(jiǎn)單隨機(jī)過(guò)程的積分，再用簡(jiǎn)單隨機(jī)過(guò)程的序列逼近一般隨機(jī)過(guò)程。

Wiener過(guò)程的分割

給定$t\in \mathcal{T}$，定義$t_j=\frac{j}{n}t,j=0,?,n?1$，則
$$[0,t]=[t_0,t_1]?(t_1,t_2]???(t_{n?1},t_n]$$
這是時(shí)域上的一個(gè)equal-partition。從而
$$W_t=\sum _{j=0}^{n?1}(W_{t_{j+1}}?W_{t_j})$$

定理 $$\sum _{j=0}^{n?1}(W_{t_{j+1}}?W_{t_j}{)}^2{\to }_{L^2}t,asn\to \infty$$
證明
等價(jià)敘述是
$$E{\left[\sum _{j=0}^{n?1}(W_{t_{j+1}}?W_{t_j}{)}^2?t\right]}^2\to 0$$
根據(jù)Wiener過(guò)程的性質(zhì)，不同的增量${\Delta }_j{W}_t$是獨(dú)立的。定義兩個(gè)符號(hào)
$$\begin{gathered} {\Delta }_j{W}_t=W_{t_{j+1}}?W_{t_j}～N(0,{\Delta }_{j}t) \\ {\Delta }_{j}t=t_{j+1}?t_j=\frac{t}{n} \end{gathered}$$
在構(gòu)造積分取部分和的極限時(shí)，求的是部分和在分割的模趨于0的時(shí)候部分和的極限。Riemann積分中分割的模一般用所有分割的Lebesgue測(cè)度的上確界。但構(gòu)造Ito積分的時(shí)候分割${\Delta }_j{W}_t$是隨機(jī)過(guò)程，當(dāng)$n$趨近于無(wú)窮時(shí)，${\Delta }_j{W}_t{\to }_{L^2}0$，感覺(jué)上符合分割的模趨于零這個(gè)想法的。
$$\sum _{j=0}^{n?1}(W_{t_{j+1}}?W_{t_j}{)}^2?t=\sum _{j=0}^{n?1}[({\Delta }_j{W}_t{)}^2?{\Delta }_{j}t]$$
定義$Z_j=({\Delta }_j{W}_t{)}^2?{\Delta }_{j}t$，顯然$E{Z}_j=0$。則
$$(\sum _{j=0}^{n?1}{Z}_j{)}^2=\sum _{j=0}^{n?1}{Z}_j^2+\sum _{j=k}{Z}_j{Z}_k$$
注意到$j=k$時(shí)，$Z_j$與$Z_k$是獨(dú)立的，因此
$$E(\sum _{j=0}^{n?1}{Z}_j{)}^2=E\sum _{j=0}^{n?1}{Z}_j^2+\sum _{j=k}E{Z}_{j}E{Z}_k=\sum _{j=0}^{n?1}E{Z}_j^2$$
計(jì)算
$$Z_j^2=[({\Delta }_j{W}_t{)}^2?{\Delta }_{j}t{]}^2=({\Delta }_j{W}_t{)}^4?2({\Delta }_j{W}_t{)}^2{\Delta }_{j}t+({\Delta }_{j}t{)}^2$$
上一講給出了求Wiener過(guò)程$n$階矩的公式，直接套用可以得到
$$E({\Delta }_j{W}_t{)}^4=3({\Delta }_{j}t{)}^2,E({\Delta }_j{W}_t{)}^2=({\Delta }_{j}t{)}^2$$
帶入計(jì)算
$$E(\sum _{j=0}^{n?1}{Z}_j{)}^2=\sum _{j=0}^{n?1}2({\Delta }_{j}t{)}^2=\frac{2t^2}{n}\to 0,asn\to \infty$$

之所以需要這個(gè)定理是因?yàn)樵?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$[0,t]$上$W_t$的方差為$t$，作了分割${\sum }_{j=0}^{n?1}(W_{t_{j+1}}?W_{t_j})$之后，要保證當(dāng)$n$趨近于無(wú)窮的時(shí)候，分割的方差要趨近于$t$。大于$t$意味著做了分割之后隨機(jī)過(guò)程包含的信息反而增多了，顯然是不合理的；小于$t$說(shuō)明這個(gè)分割會(huì)造成信息損失。

與Riemann積分的對(duì)比

我們可以考慮一下與${\int }_0^t\sigma (X_s)d{W}_s$相似的Riemann積分：假設(shè)$g\in C^1(\mathbb{R})$
$${\int }_0^{t}f(s)dg(s)$$
同樣用以下分割
$$[0,t]=[t_0,t_1]?(t_1,t_2]???(t_{n?1},t_n]$$
定義${\Delta }_{j}g(t)=g(t_{j+1})?g(t_j)$，要與Ito積分對(duì)比的話需要考慮分割的平方和：
$$\sum _{j=0}^{n?1}({\Delta }_{j}g{)}^2=\sum _{j=0}^{n?1}(g(t_{j+1})?g(t_j){)}^2$$
用Lagrange中值定理，$?t_j^{?}\in (t_j,t_{j+1})$
$$\begin{gathered} \sum _{j=0}^{n?1}(g(t_{j+1})?g(t_j){)}^2=\sum _{j=0}^{n?1}(g^{\prime }(t_j^{?}){\Delta }_{j}t{)}^2 \\ \le [\underset{j}{\sup }{g}^{\prime }(t_j^{?}){]}^2\sum _{j=0}^{n?1}({\Delta }_{j}t{)}^2=\frac{[{\sup }_j{g}^{\prime }(t_j^{?}){]}^2{t}^2}{n}\to 0 \end{gathered}$$
Wiener過(guò)程的分割結(jié)論是：
$$\sum _{j=0}^{n?1}[(W_{t_{j+1}}?W_{t_j}{)}^2?{\Delta }_{j}t]{\to }_{L^2}0$$
和Riemann積分的分割相比主要有兩點(diǎn)區(qū)別：

Riemann積分的分割的模收斂速度至少是兩階的；而Wiener過(guò)程的分割包含了時(shí)間的流逝（好文藝的描述）

收斂的mode不一樣，Riemann積分的分割就是實(shí)數(shù)域上的收斂，Wiener過(guò)程的是$L^2$收斂。

如果只有第二個(gè)區(qū)別還可以直接把Riemann積分的構(gòu)造套用在Ito積分上，但第一個(gè)區(qū)別導(dǎo)致這種生搬硬套注定要發(fā)散，所以需要另外的構(gòu)造方式。

Ito積分的構(gòu)造

用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，${\int }_0^t{W}_{s}d{W}_s$來(lái)說(shuō)明Ito積分的部分和與Riemann積分和Lebesgue積分的區(qū)別。

Riemann積分的部分和是對(duì)每個(gè)分割的模與分割內(nèi)選取的任一點(diǎn)函數(shù)值的乘積求和；簡(jiǎn)單函數(shù)的Lebesgue積分在每個(gè)分割內(nèi)的函數(shù)值是常數(shù)，不存在選取的問(wèn)題。Ito積分的部分和應(yīng)該在分割內(nèi)選取哪一點(diǎn)是一個(gè)值得討論一下的問(wèn)題，這里給出兩種可能的方案：

Left Rule：$I_n={\sum }_{j=0}^{n?1}{W}_{t_j}{\Delta }_j{W}_t$

Right Rule: $J_n={\sum }_{j=0}^{n?1}{W}_{t_{j+1}}{\Delta }_j{W}_t$

計(jì)算
$$\begin{gathered} I_n+J_n=\sum _{j=0}^{n?1}(W_{t_j}+W_{t_{j+1}}){\Delta }_j{W}_t=\sum _{j=1}^{n?1}(W_{t_{j+i}}^2?W_{t_j}^2)=W_t^2 \\ {J}_n?I_n=\sum _{j=0}^{n?1}({\Delta }_j{W}_t{)}^2{\to }_{L^2}t \end{gathered}$$
所以
$$\begin{gathered} I_n{\to }_{L^2}\frac{1}{2}{W}_t^2?\frac{t}{2} \\ {J}_n{\to }_{L^2}\frac{1}{2}{W}_t^2+\frac{t}{2} \end{gathered}$$
這兩種不同的選取導(dǎo)致部分和的極限完全不同，說(shuō)明Ito積分的部分和不能選取分割內(nèi)的任意點(diǎn)來(lái)構(gòu)造。一個(gè)更關(guān)鍵的問(wèn)題是應(yīng)該選取哪個(gè)點(diǎn)才是合理的。

我們?cè)賮?lái)審視一下Ito積分與Riemann積分的區(qū)別。Riemann積分中用來(lái)作分割的函數(shù)$g$原象空間$R$就表示是一個(gè)參數(shù)空間，其中的點(diǎn)是沒(méi)有先后順序的。Ito積分中用來(lái)作分割的Wiener過(guò)程的原象空間是$(\Omega \times \mathcal{T},\mathcal{F}?\mathcal{B}(\mathcal{T}),P?\lambda )$，$\mathcal{T}=[0,\infty )$。事實(shí)上這并不是一個(gè)合理的定義，因?yàn)樵谶@個(gè)乘積可測(cè)空間中時(shí)間集合$\mathcal{T}$的$\sigma$代數(shù)用的是Borel $\sigma$代數(shù)，這意味著$\mathcal{T}$的子集在映射中會(huì)像$g$的參數(shù)那樣被同等地對(duì)待。但是關(guān)于隨機(jī)過(guò)程$W_t$，一個(gè)常識(shí)是$t$比較小的$W_t$值一定比$t$比較大的先出現(xiàn)。因此$\mathcal{T}$中的元素與$[0,\infty )$有本質(zhì)區(qū)別。

考慮到這個(gè)區(qū)別，Ito積分做了一個(gè)假設(shè)：Ito積分的被積函數(shù)不考慮當(dāng)前時(shí)點(diǎn)以后的情況。也就是說(shuō)在考慮分割${\Delta }_j{W}_t$的時(shí)候，我們永遠(yuǎn)假設(shè)只知道$W_{t_j}$的行為，而$t_j$以后的行為是隨機(jī)的。并且還沒(méi)發(fā)生，所以部分和按$I_n$的方式來(lái)定義：
假設(shè)$f:(\Omega \times \mathcal{T},\mathcal{F}?\mathcal{B}(\mathcal{T}),P?\lambda )\to ({\mathbb{R}}^m,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^m))$，
$${\int }_0^t{f}_{s}d{W}_s=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{j=0}^{n?1}{f}_{t_j}{\Delta }_j{W}_t$$

顯然這個(gè)積分就和Lebesgue積分比較相似了，下一講用和Lebesgue積分的構(gòu)造類似的思路，先考慮step processes的Ito積分，再用step processes序列逼近一般隨機(jī)過(guò)程。但做這個(gè)之前還需要考慮一下對(duì)時(shí)間集$\mathcal{T}$的$\sigma$代數(shù)的重新定義。上面討論了用Borel $\sigma$代數(shù)是不行的，所以下一講還要給$\mathcal{T}$重新定義一個(gè)$\sigma$代數(shù)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH565C 随机微分方程III Ito积分简介的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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