UA MATH565C 隨機微分方程V Markov Family簡介

• Transition function
• Banach Space Method

ODE的IVP可以看成是對系統(tǒng)的一些變量從初始狀態(tài)開始的動態(tài)變化過程的建模，與之類似，SDE也可以看成是從初始分布開始的系統(tǒng)的隨機動態(tài)變化的過程。為了從變換的觀點研究SDE，這一講介紹Markov性、Markov Family等概念。

Transition function

先定義Markov Family的transition function，在概率空間$(\Omega ,{\mathcal{F}}_t,P)$中定義transition function為$P(s,x,t,\Gamma )$：

給定$s,x,t$，這個函數(shù)就是這個概率空間的概率測度；

關(guān)于$x$是可測函數(shù)；

$P(s,x,s,?)={\delta }_x$

這個記號有點抽象，但它就是我們熟悉的Markov轉(zhuǎn)移概率。可以把$x$理解為初始狀態(tài)，$s$為開始的時刻，$t$為結(jié)束的時刻，$\Gamma$是最終狀態(tài)的一個集合，所以這個函數(shù)的含義是在$s$時刻從$x$狀態(tài)開始到$t$時刻轉(zhuǎn)移到$\Gamma$中的某個狀態(tài)的概率。

假設(shè)${\xi }_t$是$(\Omega ,{\mathcal{F}}_t,P)$上的一個Markov Process，則它的transition function是：$?s\le t,x\in \Omega ,\Gamma \in {\mathcal{F}}_t$
$$P({\xi }_t\in \Gamma |{\xi }_s)=P(s,{\xi }_s,t,\Gamma )$$
這個敘述幾乎必然地等價于
$$P({\xi }_t\in \Gamma |{\mathcal{F}}_s)=P(s,{\xi }_s,t,\Gamma )$$
或者更一般地，對于有界的$f\in m{\mathcal{F}}_t$
$$E[f({\xi }_t)|{\mathcal{F}}_s]={\int }_{\Omega }f(y)P(s,x,t,dy)$$

定義Markov Family為$({\xi }_t,P(s,x,t,\Gamma )$滿足：

${\xi }_t,t\ge s$是定義在$(\Omega ,{\mathcal{F}}_t,P_{s,x})$上的Markov過程；

這個Markov過程的轉(zhuǎn)移函數(shù)是$P(s,{\xi }_s,t,\Gamma )$；

$P_{s,x}({\xi }_s=x)=1$

因為初始狀態(tài)一般視為給定的${\xi }_s=x$。Markov Family有如下性質(zhì)

Markov性 $?B\in {\mathcal{F}}_{\ge t}$，
$$P_{s,x}[B|{\mathcal{F}}_t]=P_{t,{\xi }_t(w)}[B]$$

另外，我們經(jīng)常需要判斷給定一個隨機過程$\xi$和轉(zhuǎn)移概率$P$，他們能否構(gòu)成一個Markov Family。定義
$$P[{\xi }_{t_1}\in {\Gamma }_1,?,{\xi }_{t_n}\in {\Gamma }_n]$$
其中$s\le t_1\le ?\le t_n$，這個叫finite-dimensional distribution。如果
$$P[{\xi }_{t_1}\in {\Gamma }_1,?,{\xi }_{t_n}\in {\Gamma }_n]={\int }_{{\Gamma }_1}P(s,x,t_1,d{y}_1){\int }_{{\Gamma }_2}?{\int }_{{\Gamma }_n}P(t_{n?1},y_{n?1},t_n,d{y}_n)$$
則稱隨機過程$\xi$和轉(zhuǎn)移概率$P$構(gòu)成一個Markov Family。主要注意的是它與任一Markov過程最大的區(qū)別在于Markov Family具有確定的起點：$P_{s,x}({\xi }_s=x)=1$，而任一Markov過程的起點是隨機的：$P_{s,x}({\xi }_s=x)=\Phi (x)$。

Banach Space Method

這一講就先介紹一點直覺，為什么需要用Banach空間這個結(jié)構(gòu)來研究Markov Family。簡單起見，我們考慮Markov Chain，$\Omega =\{1,2,?,n\}$，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為$P_{ij}$：
$$P_{ij}=P({\xi }_{k+1}=j|{\xi }_k=i)$$
$z$步轉(zhuǎn)移矩陣為$P^{(z)}=P^z$：
$$P_{ij}^z=P({\xi }_{k+z}=j|{\xi }_k=i)$$
如果要計算$E[g({\xi }_{t+1})|{\xi }_t=i]$，因為轉(zhuǎn)移矩陣是有的，所以
$$E[g({\xi }_{t+1})|{\xi }_t=i]=\sum _j{P}_{ij}g(j)=Pg(i)$$
線性代數(shù)的觀點的來看，$P$代表的是一個線性變換。對于一般的Markov Family來說，轉(zhuǎn)移函數(shù)$P$就是一個線性算子，這個算子至少可以用來表示
$$E[g({\xi }_t)|{\xi }_s=x]$$
因為線性算子的性質(zhì)比較好，至少比積分看起來直觀，所以下一講會介紹Markov Family的算子，以及需要的Banach空間的性質(zhì)。

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總結(jié)

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