UA MATH565C 隨機(jī)微分方程V Markov Family的算子

• 函數(shù)的算子
• 測(cè)度的算子
• Homogeneous Markov Family

函數(shù)的算子

這一講正式介紹Markov Family上的算子。定義算子$P^{st}$為
$$P^{st}f(x)={\int }_{\Omega }f(y)P(s,x,t,dy)$$
注意到右邊這個(gè)積分其實(shí)是條件期望$E[f({\xi }_t)|{\xi }_s=x]$，其中$f$是定義在$\Omega$上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。

從這個(gè)定義可以看出構(gòu)造算子的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)移函數(shù)$P(s,x,t,\Gamma )$。給定某個(gè)隨機(jī)過(guò)程${\xi }_t$的轉(zhuǎn)移函數(shù)，上一講提到它們構(gòu)成Markov Family的條件是
$$P[{\xi }_{t_1}\in {\Gamma }_1,?,{\xi }_{t_n}\in {\Gamma }_n]={\int }_{{\Gamma }_1}P(s,x,t_1,d{y}_1){\int }_{{\Gamma }_2}?{\int }_{{\Gamma }_n}P(t_{n?1},y_{n?1},t_n,d{y}_n)$$
直觀上很難看出這個(gè)方程是個(gè)啥，但我們可以考慮一個(gè)更簡(jiǎn)單的情況。因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$?s\le t\le u$
$$P_{s,x}[{\xi }_u\in \Gamma ]=P_{s,x}[{\xi }_t\in \Omega ,{\xi }_u\in \Gamma ]$$
也就是說(shuō)如果取一個(gè)中點(diǎn)，則起點(diǎn)到終點(diǎn)的概率等于從起點(diǎn)到經(jīng)過(guò)中點(diǎn)再到終點(diǎn)的所有可能路徑的概率之后。這個(gè)式子用積分表示就是Chapman-Kolmogorov方程：
$$P(s,x,u,\Gamma )={\int }_{\Omega }P(s,x,t,dy)P(t,y,u,\Gamma )$$
這其實(shí)是上面那個(gè)更復(fù)雜的方程的一個(gè)充分必要條件。

接下來(lái)再討論一下那個(gè)算子$P^{st}$。因?yàn)樗且粋€(gè)期望，要保證它存在的話需要$f(x)$絕對(duì)可積。這里用函數(shù)的supnorm，
$$||f||=\underset{yin\Omega }{\sup }|f(y)|$$
則
$$\begin{gathered} |P^{st}(x)|\le {\int }_{\Omega }P(s,x,t,dy)|f(y)| \\ \le {\int }_{\Omega }P(s,x,t,dy)||f||=||f|| \end{gathered}$$
因此基于函數(shù)的supnorm的算子$P^{st}$的導(dǎo)出范數(shù)滿(mǎn)足
$$||P^{st}||\le 1$$
所以只要函數(shù)$f$有界，這個(gè)算子就存在。這個(gè)算子有如下的性質(zhì)：

線性性（來(lái)自期望的線性性）；

壓縮性：$||P^{st}||\le 1$；

非負(fù)保號(hào)性，如果$f(x)\ge 0,?x$，$P^{st}f(x)\ge 0$；

$P^{st}1=1$

$P^{ss}$是恒等算子；

Chapman-Kolmogorov方程：$P^{su}=P^{st}{P}^{tu}$,$?s\le t\le u$

測(cè)度的算子

假設(shè)$\nu$是$\Omega$上的一個(gè)測(cè)度，定義
$$\nu P^{st}[\Gamma ]={\int }_{\Omega }\nu (dx)P(s,x,t,\Gamma )$$
有的概率論的教材也會(huì)把這個(gè)算子記成$(P^{st}{)}^{?}\nu$。如果$\nu$也是一個(gè)概率，這個(gè)作用在測(cè)度上的算子就比較好解釋了，它相當(dāng)于就是初始狀態(tài)的分布，用$\nu P^{st}[\Gamma ]$就可以基于Markov Family研究更一般的Markov過(guò)程。

給定一個(gè)轉(zhuǎn)移函數(shù)，是否存在對(duì)應(yīng)的Markov Family是有人回答過(guò)的問(wèn)題了。將$P^{st}$
約束在有界連續(xù)函數(shù)空間上，只要它滿(mǎn)足Feller condition，并且$\Omega$是緊集，就會(huì)有對(duì)應(yīng)的Markov Family存在。

Homogeneous Markov Family

如果$P(s+h,x,t+h,\Gamma )=P(s,x,t,\Gamma )$，稱(chēng)有這樣的轉(zhuǎn)移函數(shù)的Markov Family是Homogeneous Markov Family。記$P(t,x,\Gamma )=P(s?r,x,\Gamma )=P(r,x,s,\Gamma )$，則根據(jù)它定義的算子是
$$P^{t}f(x)={\int }_{\Omega }f(y)P(t,x,dy)$$
這個(gè)算子具有如下性質(zhì)：

線性性；

非負(fù)保號(hào)性；

壓縮性：$||P^t||\le 1$；

$P^{t}1=1$；

$P^0$是恒等算子；

$P^{t+s}=P^t{P}^s$

這些性質(zhì)就是從一般的Markov Family繼承來(lái)的。這里面有一個(gè)比較有趣的性質(zhì)，第六條性質(zhì)，它使得$P^t$成為一個(gè)semigroup homomorphism (半群同態(tài))。因此我們可以用半群理論來(lái)研究Homogeneous Markov Family。類(lèi)比Markov Chain轉(zhuǎn)移概率矩陣滿(mǎn)足$P^{(z)}=P^z$，我們希望Homogeneous Markov Family也有類(lèi)似的表示，比如：
$$P^t=e^{tA}$$
其中$A$是infinitesimal generator of the semigroup。

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總結(jié)

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