UA MATH565C 隨機微分方程V 算子半群理論簡介

• Banach空間中的算子半群
• • Hille-Yosida定理
  • Shift Operator

上一講提到Homogeneous Markov Family上的算子$P^t$是概率空間的算子半群。這一講簡單介紹一下算子半群理論。

Banach空間中的算子半群

假設$E$是Banach空間，這一講我們考慮定義在緊度量空間的連續函數的集合與supnorm構成的Banach空間，假設$P^t,t\ge 0$是這個Banach空間上的線性算子，如果：

$P^0=I$

$||P^t||\le 1$

$P^{t+s}=P^t{P}^s$

(Strong Continuity)：$?f\in E$, ${\lim }_{t\to 0}||P^{t}f?f||=0$

滿足上面的條件3一般就稱$P^t$是$E$上的算子半群，但一般對于參數空間$\{t:t\ge 0\}$的算子，會加上條件1，條件2來源于上一講的推導，在概率論的語境下應該用1作為上界。條件4是一個技術性假設，使用之后的定理之前，我們總是需要驗證條件4是否成立，滿足條件4的算子半群被稱為強連續性算子半群。

假設$A$表示強連續性算子半群$P^t$的無窮小生成元，則
$$P^t=e^{tA}$$
SDE中我們希望能有這個表示，所以需要算子半群$P^t$的強連續性。定義$A$的定義域為$D(A)$
$$D(A)=\{f\in E:?\underset{t\to 0}{\lim }\frac{P^{t}f?f}{t}\}$$
算子$A$的作用是
$$Af=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{P^{t}f?f}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{P^{t}f?P^{0}f}{t?0}$$
從后面這個等式看出，$A$的作用可以類似看作計算$P^t$在$t=0$處的導數。下面的定理給出了一個線性算子成為算子半群的無窮小生成元的條件：

Hille-Yosida定理

假設Banach空間$E$上有強連續性算子半群$P^t$，$E$上的線性算子$A$成為$P^t$的無窮小生成元的充要條件：

$D(A)$在$E$上是個稠密集；

$?\lambda$，$(\lambda I?A{)}^{?1}$也是$E$上的線性算子；

$||(\lambda I?A{)}^{?1}||\le \frac{1}{\lambda }$

條件1要求$A$能對$E$中很多元素做運算；條件3當$\lambda$越來越接近0時，對那個算子范數的約束越來越大，因為$\lambda$靠近1以后算子趨近$A^{?1}$，相當于無窮小的逆。條件2的意思是$?!f\in E$, $?F\in E$,
$$(\lambda I?A{)}^{?1}F=f?\lambda f?Af=F$$

因為Homogeneous Markov Family的算子是作用在隨機變量和隨機過程上的 ，所以應用算子半群的時候還要加上兩個條件，假設$E$是有界可測函數的集合：

$P^t$具有非負保號性的充要條件是$(\lambda I?A{)}^{?1}$有非負保號性；

$1\in D(A),A1=0$等價于$P^{t}1=1$

事實上條件2到4可以用下面兩個條件來替換：

'$?f\in E$, $?F\in E$, $\lambda f?Af=F$

’ Maximum Principle: 如果$f\in D(A)$有一個全局最大值點$x$，則$Af(x)\le 0$

Shift Operator

這個算子是定義在狀態空間$\Omega$上的，定義
$$\begin{gathered} \theta :\Omega \to \Omega \\ {\theta }_{h}w=w_h^{+},?w\in \Omega \end{gathered}$$
其中
$${\xi }_t(w_h^{+})={\xi }_{t+h}(w)$$

假設這個算子也可以作用在定義在$\Omega$的隨機變量$\eta$上：
$${\theta }_h\eta (w)=\eta ({\theta }_{h}w)$$
比如
$${\theta }_h{\xi }_t={\xi }_{t+h}$$

總結

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