UA MATH571B 試驗設計V 2K析因設計簡介

• $2^2$析因設計
• • ANOVA方法
  • 回歸方法
• $2^3$析因設計
• • 一個例子

上一講結束的時候討論了一般的析因設計，如果treatment factor的數量或者level比較多，模型中的因素就會超級多，需要的experiment unit就會很多，顯然不符合節約試驗成本的原則。$2^k$試驗設計是一般析因設計的替代方案，它的思路是假設有$k$個factor，那么每個factor只考慮兩種level，一方面需要的experiment unit數目可以少點，另一方面兩個不同的level也剛剛可以比較這個factor的effect。這一講先介紹$2^2$和$2^3$析因設計，然后介紹一般的$2^k$析因設計。

$2^2$析因設計

ANOVA方法

這里就用Montgomery的試驗設計上的例子。假設我們要研究某個化學反應的產率，因子A表示反應物濃度，因子B表示催化劑用量，我們選擇了$2^2$析因設計，重復試驗三次，結果如下表

記A和B的取值為1或者-1，1表示高濃度/用量（高濃度是25%，高用量是2磅），-1表示低濃度/用量（低濃度是15%，低用量是1磅），兩個因子兩種level一共有四種treatment，很明顯這四種組合都是contract。Replicate三次的四種treatment一共有12種response。

這張圖展示的是四種treatment的三次replicate的response的和，沒別的意思。

這張圖展示的是兩個因子的treatment effect的估計以及A和B的交互效應的估計。注意這些效應是平均效應，它們的分子，比如：
$$Contrac{t}_A=ab+a?b?(1)$$
它是contract（+，-）（上表第二行），的總效應。在這個例子中這三種效應的估計為

之前講contract的那一篇提到過某個contract的平方和用下面的公式計算：

因此



總平方和的計算公式可以直接用

根據這個公式并結合平方和的分解，可以計算得到下面的ANOVA table

從這個ANOVA table我們發現交互效應不顯著異于0，所有下面畫contour plot就會是平行直線族。

回歸方法

上面的數據可以用這個回歸模型來做，其中A為高濃度則$x_1$取1，低濃度則$x_1$取-1；B為高用量則$x_2$取1，低用量則$x_2$取-1。回歸模型的系數與上面算出來的treatment effect有如下關系：

擬合了這個模型后，需要用回歸那個系列的模型診斷方法看看回歸的假設是否滿足，也可以畫出contour plot判斷最優的濃度和用量：

$2^3$析因設計

這個和前一個相比就是多了一個因子，對應的記號稍微擴展一下就可以了：

每種factor effect和交互效應的估計以及平方和也可以用contract的方法來做，比如


交互效應可以這樣估計：

三個factor的交互效應可以用AB與C的那樣分析：

由此我們可以列出這些treatment effect含有的要素的符號：

這個矩陣有一個比較有意思的性質，首先每一行構成一個contract，其次每一列與自己的Hamada乘積等于第一列，比如$B^2=I$。

一個例子

（這個例子說明統計軟件的重要性。。。）

它也可以用回歸方法來做，但與上面那種情況方法完全一樣，就不說了。

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總結

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