當前位置：首頁 > 编程资源 > 编程问答 >内容正文

编程问答

UA MATH565C 随机微分方程V 无穷小生成算子

發布時間：2025/4/14 编程问答 19 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 UA MATH565C 随机微分方程V 无穷小生成算子小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

UA MATH565C 隨機微分方程V 無窮小生成算子

Infinitesimal generator as derivative

這一講給出算子半群那一講提出的infinitesimal generator的作用和微分類似的命題的證明思路。對于Banach空間（有界連續函數，supnorm） $B$ 上的算子半群 $P^t$ ，構造一個子空間：
$B0={f∈B:lim?t→0+∥Ptf?f∥=0}B_0 = \{f \in B: \lim_{t \to 0^+} \left\| P^tf-f\right\|=0\}$
這個子空間有如下性質：

性質一：

B_0

是一個閉集；

證明驗證 $B_0$ 中的任意柯西序列 $f_n$ 的極限 $\in B_0$
$∥Ptf?f∥≤∥Ptf?Ptfn∥+∥Ptfn?fn∥+∥fn?f∥\left\| P^tf-f\right\| \le \left\| P^tf-P^tf_n\right\| + \left\| P^tf_n-f_n\right\| + \left\| f_n-f\right\|$
根據 $B_0$ 的定義，右邊第二項極限為0，根據算子 $P^t$ 的壓縮性第三項是第一項的上界，因此
$∥Ptf?f∥≤2∥fn?f∥\left\| P^tf-f\right\| \le 2 \left\| f_n-f\right\|$
因為 $f$ 是柯西序列 $f_n$ 的極限，當 $n$ 足夠大時，取 $∥fn?f∥≤?2,??>0\left\| f_n-f\right\| \le \frac{\epsilon}{2},\forall \epsilon >0$ ，則 $∥Ptf?f∥≤?\left\| P^tf-f\right\| \le \epsilon$ ， $\in B_0$ 。

性質二：

\to P^tf

在

B_0

上一致連續

證明 $?s≤t\forall s \le t$ ,
$∥Ptf?Psf∥=∥Ps(Pt?s?I)f?f∥≤∥(Pt?s?I)f?f∥→0,ast?s→0\left\| P^t f - P^s f \right\| = \left\| P^s(P^{t-s} - I) f - f \right\| \le \left\| (P^{t-s} - I) f - f \right\| \to 0,\ as\ t-s \to 0$

這兩個性質說明，把算子半群限制在 $B_0$ 上具有良好的性質。

性質三：

DA?B0D_A \subset B_0

，

D_A

是infinitesimal generator的定義域：

DA={f∈B:?lim?t→0t?1(Ptf?f)}D_A = \{f \in B: \exists \lim_{t \to 0} t^{-1}(P^tf-f)\}

性質三的意義是說明即使把算子半群限制在了 $B_0$ 上，因為我們關注的是 $D_A$ 內的函數，所以這個限制也不會影響我們進一步分析。

Infinitesimal generator as derivative

$\in D_A,P^tf \in D_A$ ，則
$APtf=PtAf=ddtPtfAP^tf = P^t Af = \fracozvdkddzhkzd{dt} P^t f$
這個式子說明 $P^t$ 與 $A$ 的關系就像是 $P^t = e^{tA}$ 一樣。

證明
$h^{-1}(P^hP^tf-P^tf) = h^{-1}(P^{t+h}f-P^tf) = P^t (p^hf-f)$
計算
$∥h?1(Pt+hf?Ptf)?PtAf∥=∥Pt[h?1(Phf?f)?Af]∥≤∥h?1(Phf?f)?Af∥→0,ash→0\left\| h^{-1}(P^{t+h}f - P^tf) - P^tAf \right\| = \left\| P^t [h^{-1}(P^{h} f - f) - Af ]\right\| \\ \le \left\| h^{-1}(P^{h} f - f) - Af \right\| \to 0,\ as\ h \to 0$
這說明 $Ptf∈DAP^t f \in D_A$ ，并且 $AP^tf = P^t Af$ ，以及等于right derivative。接下來考慮left derivative，
$∥(?h)?1(Pt?hf?Ptf)?PtAf∥≤∥Pt?h(?h)?1(f?Phf)?Pt?hAf∥+∥Pt?hAf?PtAf∥≤∥h?1(Phf?f)?Af∥+∥Pt?hAf?PtAf∥\left\| (-h)^{-1}(P^{t-h}f - P^tf) - P^tAf \right\| \\ \le \left\| P^{t-h} (-h)^{-1}(f - P^hf) - P^{t-h}Af \right\| + \left\| P^{t-h}Af - P^t Af \right\| \\ \le \left\| h^{-1}(P^hf-f) - Af \right\| + \left\| P^{t-h}Af - P^t Af \right\|$
根據 $A$ 的定義以及性質二，性質三（ $DA?B0?Af∈B0D_A \subset B_0 \Rightarrow Af \in B_0$ ），這個上界趨于0。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH565C 随机微分方程V 无穷小生成算子的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。

上一篇： UA MATH565C 随机微分方程V
下一篇： UA MATH565C 随机微分方程VI