UA MATH565C 隨機(jī)微分方程VI 擴(kuò)散過(guò)程簡(jiǎn)介

• Kolmogorov定理

稱具有路徑連續(xù)的Markov Family $({\xi }_t,P_x)$是一個(gè)diffusion，如果$C^2?D_A,?f\in C^2$，
$$Af(x)=\frac{1}{2}\sum a^{ij}(x)\frac{{?}^{2}f(x)}{?x^i?x^j}+\sum b^j(x)\frac{?f(x)}{?x^j}=Lf(x)$$
其中$a^{ij},b^j$是連續(xù)函數(shù)。算子$L$被稱為generator，它與$A$在$C^2$上相等，這個(gè)結(jié)論由Kolmogorov給出。

Kolmogorov定理

記$U_{?}(x)$是$x$的鄰域，$V_{?}(x)$是$U_{?}$的補(bǔ)集，$?epsilon>0$，如果下面三個(gè)條件在$\Omega$上一致成立，則$C^2?D_A,?f\in C^2,Af=Lf$：當(dāng)$t\to 0$時(shí)，

$P(t,x,V_{?}(x))=o(t)$

${\int }_{U_{?}(x)}(y^i?x^i)P(t,x,dy)=b^i(x)t+o(t)$

${\int }_{U_{?}(x)}(y^i?x^i)(y^j?x^j)P(t,x,dy)=a^{ij}(x)t+o(t)$

條件一說(shuō)明具有路徑連續(xù)的Markov Family $({\xi }_t,P_x)$的存在性（Dynkin-Kinney定理）。

證明 （思路）
考慮$f\in C^2$的二階展開(kāi)：
$$f(y)=f(x)+\sum \frac{?f(x)}{?x^j}(y^j?x^j)+\frac{1}{2}\sum \frac{{?}^{2}f(x)}{?x^i?x^j}(y^i?x^i)(y^j?x^j)+\alpha |x?y{|}^2$$
其中$|\alpha (x,y)|$有界，$|y?x|<?,??$，對(duì)于$P^{t}f(x)=\int f(y)P(t,x,dy)$，計(jì)算
$$P^{t}f(x)?f(x)={\int }_{U_{?}(x)}[\sum \frac{?f(x)}{?x^j}(y^j?x^j)+\frac{1}{2}\sum \frac{{?}^{2}f(x)}{?x^i?x^j}(y^i?x^i)(y^j?x^j)]P(t,x,dy)+o(t)$$
右邊的式子就是$Lf+o(t)$。這里的領(lǐng)域可以理解成$\delta (y?x)$不為零的區(qū)域，所以對(duì)狀態(tài)空間$\Omega$求積分就等于對(duì)領(lǐng)域求積分，誤差項(xiàng)$\alpha |x?y{|}^2$是有界的，所以積分之后誤差項(xiàng)就成了$o(t)$。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH565C 随机微分方程VI 扩散过程简介的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。