UA MATH571B 試驗設計V 2K析因設計

• 一般的2K析因設計
• • Contrust
  • Single-Replicate $2^k$ 設計
  • • Normal Probability Plot
    • Design Projection

一般的2K析因設計

假設有$k$個factor，每一個有兩種level，則一共有$C_k^1+C_k^2+?+C_k^k=2^k?1$種treatment，也就是說一共會有$2^k?1$種effect。以$2^4$析因設計為例，如果五種因素記為$A,B,C,D$，則一般用小寫字母表示treatment，并且按照standard order來記：(1), a, b, c, d, ab, ac, ad, bc, bd, cd, abc, abd, acd, bcd, abcd。

$2^k$析因設計的分析方法比較流程化：首先估計每一種treatment effect，然后構造初始模型（如果replicate為一次，就用normal probability plot建模，如果為多次，就可以用GLM建模），根據初始模型進行分析，找出顯著的treatment effect，重構模型并做誤差診斷。這個是$2^k$析因設計的ANOVA table。

Contrust

用$A,B,?,K$表示$k$個factor，它們的treatment組合的contrust可以表示為
$$Contrus{t}_{AB?K}=(a\pm 1)(b\pm 1)?(k\pm 1)$$
減號表示包含某個factor，加號表示不包含，比如$2^3$析因設計因素AB的contrust就可以表示為：
$$Contrus{t}_{AB}=(a?1)(b?1)(c+1)$$
根據contrust的性質，它的treatment effect和SS可以表示為
$$\begin{gathered} AB?K=\frac{2}{n{2}^k}Contrus{t}_{AB?K} \\ S{S}_{AB?K}=\frac{1}{n{2}^k}(Contrus{t}_{AB?K}{)}^2 \end{gathered}$$

Single-Replicate $2^k$ 設計

Normal Probability Plot

從general $2^k$ 設計的ANOVA table可以看出，當$n=1$，也就是single replicate的時候，error的自由度為0，這時就沒法做ANOVA F檢驗了，這種情況當試驗資源（經費不足…）不足時就可能發生，也被叫做unreplicated factorial。這種情況下分析實驗數據可以用sparsity of effects principle，也就是忽略某些高階交互項，把自由度留給error。這種操作的依據是總效應會集中到不多的幾個treatment組合上，大部分treatment組合的effect會被這幾個組合掩蓋掉，當factor的數目越來越時，集中度就會越來越大，重要的treatment組合就會越來越稀疏。Daniel (1959)建議用normal probability plot來選出肉眼可見的那幾個顯著的treatment組合，然后用這幾個組合代替所有的$2^k?1$個組合重新估計一個模型做ANOVA。

Design Projection

如果用NPP發現某個因素的效應不顯著，那么我們可以把這個因素以及含這個因素的所有組合都剔除掉，這樣我們就拿到了一個$2^{k?1}$設計，并且$n=2$，相當于把被剔除的這個因素的兩個level下的試驗看成是兩個replicate，一個是原來的single replicate，另一個叫做hidden replicate。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH571B 试验设计V 2K析因设计的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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