矩陣分析與多元統計 線性空間與線性變換1

• 線性空間
• 基、坐標、坐標變換
• 線性子空間

關于矩陣分析的討論都是在線性空間中進行的，所以這個系列的博客會從線性空間開始，考慮到是矩陣分析了，所以線性代數層面的計算就不講了。

線性空間

先給出線性空間的定義，雖然這個名字比較厲害，但他就是一個集合，我們記這個集合是$V$，假設$F$是一個數域（域也是一個集合，它里面的元素做四則運算也在這個集合中，也就是對四則運算封閉），假設$V$對加法運算和數乘運算（這兩個運算合稱線性運算）封閉，如果下面的性質成立：$?\alpha ,\beta ,\xi \in V$, $k,l\in F$

加法交換律：$\alpha +\beta =\beta +\alpha$

加法結合律：$\alpha +(\beta +\xi )=(\alpha +\beta )+\xi$

零元：$?0\in V,\alpha +0=\alpha$

負元：$??\alpha \in V,\alpha +(?\alpha )=0$

幺元：$?1\in F,1?\alpha =\alpha$

數乘結合律：$(k+l)\alpha =k\alpha +l\alpha$

數乘分配律：$k(\alpha +\beta )=k\alpha +k\beta$

則稱$V$是數域$F$上的線性空間。一般稱線性空間中的元素為向量。如果${\alpha }_1,?,{\alpha }_r\in V$，$k_1,?,k_r\in F$，
$$\alpha =k_1{\alpha }_1+?+k_r{\alpha }_r$$
稱$\alpha$可以被${\alpha }_1,?,{\alpha }_r$線性表示，$\alpha$是${\alpha }_1,?,{\alpha }_r$的線性組合。如果$k_1{\alpha }_1+?+k_r{\alpha }_r=0$，當且僅當$k_1,?,k_r$等于0，則稱${\alpha }_1,?,{\alpha }_r$線性無關。

例1.1.1 $A\in {\mathbb{F}}^{m\times n}$，記$N(A)$為$A$的核空間（或稱零空間），記$R(A)$為$A$的像空間（或稱列空間）
$$N(A)=\{x\in F^n:Ax=0\},R(A)=\{y\in F^m:y=Ax,x\in F^n\}$$
證明$N(A)$和$R(A)$是線性空間。

例1.1.2 $X$是任意非空集合，$F$是一個數域，定義$F^X=\{f:X\to F\}$，并在$F^X$上定義加法與數乘：$?f,g\in F^X,k\in F$，
$$\begin{gathered} (f+g)(x)=f(x)+g(x) \\ (kf)(x)=kf(x) \end{gathered}$$
證明$F^X$是$F$上的線性空間。

例1.1.3 假設${\alpha }_1,?,{\alpha }_r\in V$線性無關，${\alpha }_1,?,{\alpha }_r,\beta$線性相關，證明$\beta$可以被${\alpha }_1,?,{\alpha }_r$線性表示，且表示唯一。

基、坐標、坐標變換

假設${\alpha }_1,?,{\alpha }_n\in V$線性無關，$?\alpha \in V$，$?!k_1,?,k_n\in F$，
$$\alpha =k_1{\alpha }_1+?+k_n{\alpha }_n?Ak$$
其中$A=({\alpha }_1,?,{\alpha }_n)$，$k=[k_1,?,k_n{]}^T$，稱這組線性無關的向量是$V$的一組基，$k$是$\alpha$的坐標，$dimV=n$。
假設${\beta }_1,?,{\beta }_n$是另一組基，它也可以被$\alpha$這組基唯一線性表示：記$B=({\beta }_1,?,{\beta }_n)$
$$B=AP$$
稱$P$為從基$\alpha$變換到基$\beta$的過渡矩陣。

例1.1.4 證明過渡矩陣可逆。

例1.1.5 證明$dimR[x{]}_n=n$，$R[x{]}_n=\{{\sum }_{i=0}^{n?1}{a}_i{x}^i|a_i\in \mathbb{R}\}$，并求$1,x,?,x^{n?1}$到$1,x?a,?,\frac{f^{(n?1)}(a)}{(n?1)!}$的過渡矩陣。

線性子空間

假設$W?V$，$V$上定義的線性運算在$W$中封閉，則稱$W$是$V$的一個線性子空間。比較容易想到的是$\{0\}$和$V$都是$V$的線性子空間，這兩個叫平凡子空間。另一類比較特殊子空間是$V$中的向量張成的子空間。假設${\alpha }_1,?,{\alpha }_s\in V$，定義
$$span\{{\alpha }_1,?,{\alpha }_s\}=\{k_1{\alpha }_s+?+k_s{\alpha }_s|?k_i\in F\}$$
是${\alpha }_1,?,{\alpha }_s$張成的子空間，則它是$V$的線性子空間，并且
$$dimspan\{{\alpha }_1,?,{\alpha }_s\}=rank({\alpha }_1,?,{\alpha }_s)$$

假設$V_1,V_2$是$V$的兩個線性子空間，定義他們的和與交為
$$\begin{gathered} V_1+V_2=\{{\alpha }_1+{\alpha }_2:?{\alpha }_1\in V_1,?{\alpha }_2\in V_2\} \\ {V}_1\cap V_2=\{\alpha :?\alpha \in V_{1}and\alpha \in V_2\} \end{gathered}$$
如果$V_1\cap V_2=0$，則稱他們的和為直和，記為$V_1\oplus V_2$。如果$V_1\oplus V_2=V$，則稱$V$有一個直和分解，$V_1$和$V_2$互補（互為代數補，代數補不具有唯一性）。

例1.1.6 假設$V_1=span\{{\alpha }_1,?,{\alpha }_s\}$，$V_2=span\{{\beta }_1,?,{\beta }_t\}$，證明$V_1+V2=span\{{\alpha }_1,?,{\alpha }_s,{\beta }_1,?,{\beta }_t\}$

例1.1.7 證明
$$dim(V_1+V_2)+dim(V_1\cap V_2)=dim(V_1)+dim(V_2)$$

例1.1.8 證明線性子空間一定有代數補

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵分析与多元统计1 线性空间与线性变换1的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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